DES PLANS TANGENTS ET DES NORMALES AUX SURFACES COURBES

h tant donnée l'équation d'une surface courbe, et étant pris un point arbitrairement sur cette surface, irouver, i^ l'équation du plan tangent à Ut * surface en ce point; i^ les équations de la normale au même point.

I . Soit représentée par M = o T équation donnée de la surface coiu^be : si on la différentie, on aura une équation de la forme suivante,

dans laquelle les quantités \-r-)^ (;^ ) ^^^ ^^ ^'?J% "•? '^^ coefficients de dx et dy dans la valeur de dz. Comme la valeur de z est donnée en .r, /, par F équation M = o, on peut toujours conce-

voir que cette valeur soit substituée à la place de z dans les quantités i^-j-p i'T') obtenues par la difFérentiation , et que ces quantités soient des fonctions connues de a*, jr.

Soient de plus x\ j', z' les coordonnées du point pris arbitrairement sur la surface; l'équation M = o aura lieu entre ces trois coordonnées, et Ton aura de même

*' = (jè) '^' + (f ■) ''y''

équation dans laquelle les quantités (;/--?) et ( y^r ) sont composées

de x' et j', de la même manière que les quantités (^ ) ^t \-f\ sont composées de x el y.

Enfin soit \x -+- B/ -+- Cz H- D = o T équation demandée du plan tangent.

On déterminera D par la considération que le plan doit passer par le point donné, ce qui donnera

Quant aux trois autres coefficients A, B, C, dont deux seulement sont nécessaires, on les déterminera par la considération que le plan doit être tangent à la surface dans le point domié. Or, le plan sera tangent si, en prenant sur le plan un point infiniment voisin du point domié, ce point se trouve aussi sur la surface courbe, suivant quelque direction d'ailleurs qu'il ait été pris; c'est-à-dire, si l'équation différentielle du plan, prise pour le point dont les coordonnées sont x\ j', z', est identique avec r équation différentielle de la surface prise pour le même point. Mais, pour le même plan tangent, les coordonnées

x\ y\ z' étant constantes, récjuation différentielle est, en général, Xdx -f- Bfljy- -+- Cdz = o , et pour le point donné on a

Adx' -h Bdy + Cdz' = o; celle de la surface courbe pour le même point est

il faut donc que les deux dernières équations soient identiques, quelles que soient les valeurs de dœ' et df^ qui sont arbitraires. Donc on aura

c- W)^ c- Wv'

donc ^fin l'équation demandée du plan tangent sera

li. La normale étant perpendiculaire au plan tangent, et devant passer par le point donné sur la surface, ses équations se trouveront, d'après celle du plan tangent, par les formules de la page i o, i"^ partie, et seront

Autrement. Si Ton conçoit une sphère dont le centre soit placé au point considéré sur la surface coiu'be, et dont le rayon soit a, r équation de la surface de cette sphère sera

Si Ton conçoit ensuite que le centre se meuve sur la surface courbe dans une direction quelconque, et parcoure Tare infiniment petit d'une courbe, la sm^face de la nouvelle sphère coupera

celle de la première dans la circonférence d'un cercle, dont le plan sera perpendiculaire à l'arc parcoiun par le centre, et qui sera normal à la surface courbe. Pour tous les points de cette circonférence, les coordonnées x^ y^ z n'auront pas varié, quoique les coordonnées du centre x\y\ z' aient changé de grandeur. Si donc on différentie l'équation de la surlace de la première sphère, en regardant ^, /, z comme constantes, et en faisant varier a?', j', z', l'équation qu'on obtiendra ne sera vraie, par rapport aux points de la surface de la sphère, que pour ceux qui sont sur la circonférence du cercle, et dans l'intersection commune des deux sphères consécutives. Cette seconde équation ayant pour objet de distinguer sur la surface de la sphère les points qui sont sur la circonférence du cercle, ne peut être autre que l'équation du plan même de ce cercle, et par conséquent celle d'un plan normal à la surface courbe, mené par le centre de la sphère, et dont la position dépend d'ailleurs de la direction du mouvement de ce centre sur la surface courbe. Donc, si Ton fait deux fois la même opération, en donnant au mouvement du

centre deux directions diflférentes, on aura les équations de deux plans normaux à la surface, menés par le même point, et qui, par leur intersection, détermineront la normale.

Les directions des mouvements du centre étant arbitraires, on pourra supposer que l'une soit dans une section perpendiculaire aux j, et pour laquelle x' sera constante, et que l'autre soit dans une section perpendiculaire aux x^ et poiu* laquelle /' sera constante. Donc, si en regardant a?, j, z comme constantes, on diflférentie l'équation de la surface de la sphère, d'abord en ne faisant varier que x\ puis en ne faisant varier que j', les deux équations

que Ton obtiendra, seront celles de deux plans normaux respectivement perpendiculaires aux plans des .r, s, et des j, z^ et par conséquent celles des projections de la normale sur les mêmes plans, ce qui coïncide avec ce que nous avons déjà trouvé.

Autrement encore. Si Ton diflférentie T équation de la surfece de la sphère, en regardant a?, /, z comme constantes, et sul)slituant pour dz' sa valeur prise dans

dz' = (ê^) '^'^' -+- iw) ^^''

on aura l'équation

^'[,,^'H(z-.')(|:,)]+rfK'[j-/+(:=--')(^)]=o,

qui est celle d'un plan normal à la surface, et dont la position dépend de la valeur de -j-, qui détermine la direction du mouvement du centre de la sphère. Si l'on conçoit que ce centre ait une autre direction infiniment peu différente de la première,

c'est-à-dire que la quantité -j-, éprouve une variation, on aura

un autre plan normal différent du premier, mais qui coupera le premier dans la normale demandée. Les points de la normale sont donc ceux dont les coordonnées a*, /, z ne changent pas,

lorsque dans l'équation du plan on fait varier la quantité ~^- Donc,

si l'on différentie l'équation du plan, en ne faisant varier que ~^î

l'équation que l'on obtiendra ne sera vraie, par rapport aux points du plan normal, que pour ceux de la normale même, qui est commune aux deux plans normaux consécutifs. Or, si l'on exécute cette difTérentiation, on a

et par conséquent

donc ces deux équations appartiennent à la nopmale demandée