Soit encore ce groupe

, dz t if^i

dy dx

j idi , ,dt

dy dx

On aura alors

dy dx

c -r-dx -hk-r-dy =^ du, dy dx ^

c' -j-dx-^k' -r-dy = di^, dy dx -^

d'où

et , par conséquent ,

{^bis)

I du

dz I dv

dy-

c dx

dx" k' dy'

I dif

dt I du

ày

'^ c'dx'

dx / dy

j I dt> ^'^•dy

. I ilu ' c dx

fix

j I du ^'ldy

j I dv d, , c dx

dy dx

Pour passer des intégrales d'un des systèmes (9) et [^ bis) aux intégrales de l'autre , on remarquera que, connaissant z et ^, on a

et que, réciproquement, connaissant u et v^ on doit prendre

14. Il serait évidemment aisé de multiplier ces systèmes de deux équations conjugués à d'autres systèmes. On peut également considérer des systèmes de trois ou même d^un nombre quelconque d'équations. Bornons-nous à en donner ici deux exemples.

Soient Ci, Cs,. . ., c„, Xti, As,. . ., A„ des fonctions données quelconques de x, j^j et Zi, z, , . . . , z„ d'autres fonctions de x, y qui vérifient les équations

d.Cj^

, dZ:i

d.CfiZfi

'^ dx

d.CnZn ■ '^ dx

\ dy

A l'inspection du système des équations (lo), nous voyons que les quantités ci-après :

c^z^dx 4-At jzdy^ Cj z, dx -h A, — ' dj^

c,Zf,dx-\-k^-^'dy,

c„z^dx -\-K j^ dy^

sont des dîirërenlielles exactes. Posons donc

', z, dx -\- A*i ~ dy = du^ ,

dx ^

h^dy = du^,

et il en résultera

ty 2^ dx -f- h^ —^ dy = du^ ,

c„ z„ dx -f- K -r ^y — ^"" ^

diix , '/zj du^

CtZi

dx dx dy

d'oii

r/«„ , dz^ dUn

I dfif I ^/i^

dz^ dx

1 dun /fn dr

^ c^ dx dx ^^, dy

par conséquent

[io bis)

Zn = --»

I dUn dZn I dUn-

c„ dx dx A., dr

I du,

, 1 du.

Ci dx dx

, I dui c,dx

Cfi dx dx

I ^«ii-i ' Cn dx

dlr

Les deux systèmes d'équations aux différences partielles (lo) et (10^15) s'intégreront ensemble. Connaissant Z|, Zt, . . . , z„, on aura

Zi dx -h ht rTZ^y)

Zt da: -h tt

Un= \ [CnZ^

dx -ht.

et connaissant Uj, i/s , . . . , i/„ , on prendra

I dui

c, dx

I //tfs

C2 ax

" c. dx

Maintenant, au lieu du système (10), considérez le système

dz,

d.hi

dzj tlx

dZi

"dy

dz^^, dx

dy dx

et vous serez de même conduits à poser

dz^

c, dx-hK — dy=du,,

vt^-*--^*/^ *='*'-

d'oi

Cn-^^^-^^n'^idy = du„,

dzx

ày

dZi dP

I diii Cl dx

I dui Cl dx

dzx dx

dzi dx

1 dUn

k.dr' I du^

dzn

du^

Cf,

dtn

I du^ dzn I duj^x

c^ dx dx kj^x dy

et, par conséquent,

(i I bis)

i j l dUn

dy dy

' kfu-x dy

d -JL ^^"-' y ' du^

' k^x dy ' c^dx

dy dx

Los deux systèmes (ii) et (ii hïs) s'iiiiègrent ensemble. Connaissant z,.

3 , . . . , 5„ , on a

et connaissant i/,, //^ . . . . , i/„ , on prendra

15. Les équations précédentes sont linéaires-, mais la méthode s'applique également à des équations non linéaires. Soit, par exemple,

(l.vz ' \dx )

c et /r étant encore des fonctions données de x, r . Il s'ensuivra que l'on peut poser

cz dv ~^ ^\-T-] dy -- flu^

d'où

du , /(Iz \ ' du

dx \^^ ) dy

et, par conséquent,

é t ' \ 1 \ ' c dx \ du

Les équations (12) et (12 bis) sont donc conjuguées. Quand l'intégrale de la première est connue, on a celle de la seconde en posant

«= J[ez^ + A(|)'rfj]

et réciproquement si la seconde est intégrée, on a Tintégrale de la première par la formule

1 du c dx

Soit encore

(■') --i "'■KD'

dy dx

On fera

±^dx + h (^£)l' dy = du.

d'où

dz I du dz dx c dx dy

Il du

et l'on en conclura sans difficulté

, \ du -74/' ^" i 1 h' \ * c dx ' y Idy

Les équations (i3) g\.[iZ bis) nous offrent donc un nouvel exemple d^équations conjuguées pour l'intégration.

En général , si Ton a l'équation

dU d^

dy dx

M et N étant des fonctions de x,^ et de deux dérivées de z telles que

dx^dy"^ dxPdyi on fera

Mrfa? -h N/fy = <5&i,

puis des deux équations résultantes

du -- du .^

on tirera les valeurs des deux dérivées de z qui y sont contenues. Éliminant ensuite z, ce qui est facile, on en conclura une équation (i4 his) qui sera conjuguée à l'équation (i4)- Et il est clair qu'un même artifice s'étend aussi à des groupes d'équations.

16. Tous ces exemples montrent assez combien l'idée de d'Alembert, pour l'intégration de Féquation des cordes vibrantes,' a de portée et d'utilité dans la théorie tout entière des équations aux différences partielles. En principe, on part de la condition d'intégrabilité

rfM rfN df dx

de la formule différentielle à deux variables

Mais Tapplication du principe est opérée de façon diverse, et dans la question traitée par d'Âlembert , et dans celles que nous venons de traiter nous-mème, et dans d'autres encore où ce principe si simple et si fécond joue un rôle. Car c^est à ce même principe qu'il faut rappeler la méthode par laquelle on ramène à l'intégration d'une équation linéaire et du premier ordre Tintégration des équations du premier ordre, mais de forme quelconque, comprises dans le type général

^/ dz dz\

En effet , on pose alors

dz dz

di = P^ Tr^'f'^

puis tirant de Téquation

la valeur de ^, savoir

on exprime que

pdx -h F(x, j, z, p)ft)

est une différentielle exacte, et Ton est ainsi conduit à une équation linéaire qui donnera p en fonction de x, j^, z. Ici le nombre des variables indépendantes est augmenté, et cela établit une très-grande différence entre la manière; dont on traite Téquation

^/ dz dz\

et celle que nous avons employée nous-mème dans cette Note pour d'autres

équations. Il était bon pourtant de faire ressortir Fidentité du principe fondé

sur la condition

dM. __ r/N dr d.v

sans laquelle

ne peut être une différentielle exacte.

17. La méthode par laquelle nous lions ou conjuguons deux équations ou deux systèmes d^équations, mène parfois à un résultat que Ton serait tenté de croire insignifiant au premier abord , et qui , mieux étudié , devient utile. Si , par exemple, nous prenons comme point de départ l'équation

dH dH

nous verrons, en l'écrivant ainsi

dz\

dy dx

qu on peut poser

dz j dz j j

-7- dx — -y- dy = aui dy dx -^

fi 38

qui résulteront de là , iic nous

m qu à une équation

df même l'orme qut- l'equaiiuii piîmitive.

Dans ir. cas même (lourtant , îl y a encore un parti avantageu~ ~ . les calculs que l'on vient de faire. Ces calculs, en effet, établissent entre deux inté(;rales s et ii d'une même équation -"-""■' -

tirer de toiu liaùoii différences partielles

prenant z et u comme deux variables nouvelles à substituer à x, y, Ae rendre ^ fonction de z el u . tandis que f était d abord fonction de , on obtient aisément

liir

<ii' '

en sorte que f s'exprime sous la mùme forme en ii et z qu en x e\.y. Ce résultilL n'a aucune valeur sans doute tant qu'il ne s'agit que d'obtenir eu général, vt saiiK avoir à l'appliquer à aucun problème défini , l'intégrale complète dont ^ dépend-, mais, dans les problèmes particuliers, on doit rechercher, parmi teniez les formes dont une intégrale est susceptible , la forme propre au cas dont on s'occupe. On voit, par là, que l'intégrale y, exprimée en u et z, peut souTem être préférable à celle exprimée en x et j; la théorie de la chaleur en offre la

f//- »f/^y' // ///i'/// /v^ f/zr^////^ /'A/v //////" y// /à/ //^ y \

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