L'équation nous fournirait semblablement

d'où

fix

-hh

fiuj

du dx'

d^z dx''

I du kdy'

et, par conséquent,

j t du ^ i du

k dy c dx

dy^ dx^

résultat qui fait dépendre Fintégrale de l'équation (6) de celle de Téqua* tion (6 iû), et réciproquement.

11 . Mais j'arrive à des exemples où deux groupes d'équations seront conjugués comme Font été, dans ce qui précède, des équations prises deux à deux.

Soient c, A, c', k' des fonctions données quelconques de x, j^, et z, t des fonctions de ces mêmes variables vérifiant les deux équations

d.k -ra.cz dx

djr dx

^7) \ dz

d.k — d,ct ' dx

djr dr

Ces équations nous apprennent que les deux formules

czdx -h k —dy

€MJU

(' t rlx -h k^ ^-^ f/y dx ^

sont des diilereiiticlles exactes. Nous pouvons donc poser

de là Insultera

et , par conséquent ,

d'où

cz ftx -h k —-dy = du

dx ^

c'tdx -f- k^T-dr =d\^\

dx '^

du , de du

dx dx djr

, du ,,dz dv

dx dx dy

\ du dz I dv

c dx dx k' dy

i du dt 1 du

r' dx dx k tly

i du c dx

il bis)

k' dy dx

. , 1 du

i du ' c' dx

k dy dx

Les deux groupes d'équations aux différences partielles (7) et (7 Im) sont liés entre eux de telle manière, que si Ton est parvenu à intégrer Tun, on saura par cela même intégrer Taulre. Connaissant, en effet, i: et /, on aura

u= j\czdx -\-k£djry

et connaissant u et ^, on prendra

i du i du

c dx c' dx

12. Notre méthode s*âppUque, avec une égale facilité, au groupe suivant

a,cz dy

d.e't ' tfy

dy dx

En vertu des deux équations que nous venons d^écrire , on peut poser

cz dx -{- h ^- dy =z du .

dy -^ ^

d'où

c' tdx -^^ h' -^ dy = di^ ^

^ \ du dz i dv

c dx dy k' dy

\ dp dt i du

cf dx dy k dy

et, par conséquent,

(8 bù)

^ i du

\ dv 'c dx

T'd^^~dP^

, 1 du i du ' c' dx

k dy dy

Connaissant z et f , on aura u el %f par les formules

u = ^ [czdx ^k^dyj, v^= j[c'tdx^h'^^^dyy,

et connaissant u et v^, on prendra

I du I dv

c dx c' dx