SFXO.NDE MANIÈRE. D'APRÈS LE MOUVEMENT DE I.A DROITE GÉNÉRATRICE

2. La génératrice devant constamment passer par le sommet, ses équations seront

i X — a = ct(z — c), (F) ^

ljr-b=^{z-r),

dans lesquelles les trois quantités a^ bj c, qui sont les coordonnées du sommet, sont constantes, quelle que soit la position de la génératrice, mais dans lesquelles a et |3, qui sont constantes pour une même position de la génératrice, varient lorsque la génératrice passe d'une position à une autre.

Ainsi, pour toute surface conique, lorsque le point que Ton considère change de position sur la surface sans quitter néanmoins la même position de la droite génératrice, les deux quantités et et fi ^

oc "~"~ CL V ^"^ b

ou leurs égales et" , sont toutes deux constantes: et

lorsque le point se meut de manière qu'il passe d'une position de la génératrice à une autre, ces deux quantités varient toutes deux.

Pour les surfaces coniques, les deux quantités ^^^ et "^ ~

sont donc constantes ensemble et variables ensemble; elles sont donc fonctions Tune de l'autre : donc l'équation générale des surfaces coniques est

dans laquelle (p indique une fonction cjuelconque.

La fonne de cette fonction dépend de la nature de la courbe qui sert de base à la surface, ou qui dirige le mouvement de la génératrice. Cette forme est analytique ou non, selon que la courbe est ou n'est pas soumise à la loi de continuité.

Nous verrons par la suite que les deux équations que nous venons de trouver sont de la même généralité, et que Tune est l'intégrale complète de l'autre.

Il suit de là que les équations de la génératrice sont

A étant le paramètre, de la variation duquel dépend le mouvement de la génératrice.

Étant données les coordonnées du sommet, et les équations de la courbe à double courbure qui dirige le mouvement de la génératrice, trouver t équation de la surface conique individuelle.

3. La question se réduit évidemment à déterminer dans l'équation générale des surlaces coniques, quelle doit être la forme de la fonction ç, pour que la surface passe par la courbe donnée.

Soient représentées par F(^, j, z) = o et f{x^y^ c) = o les deux équations données de la courbe à double courbure donnée; la génératrice devant couper cette courbe dans toutes ses positions, il

faut qiie les quatre équations

aient lieu en même temps, quelle que soit la valeur de a. Donc, si Ton élimine entre ces quatre équations les trois quantités ^, j, s, on aura en a et cp a une équation que nous représenterons par

f (ût, (pa.) = o,

et (jui devant être satisfaite, quelle que soit la valeur de et, servira à déterminer la forme de la fonction ç, c'est-à-dire la manière dont cette fonction doit être composée de la quantité a qu elle renferme. Remettant pour a eKpci leurs valeurs, il est évident que F équation de la surface conique individuelle demandée sera

Etant données les coordonnées du sommet, trouver ï équation de la surface conique individuelle circonscrite à une surface courbe donnée.

\ . La siu'face domiée et la surface conique demandée se touchent en une courbe à double courbure, dont il suffira de trouver les équations; car la surface conique devant passer par cette courbe, la question sera réduite alors à la précédente. Or, pour tous les points de cette courbe de contact, les deux surfaces ont le même

plan tangent ; donc , pour ces mêmes points , les valeurs de ( -^ )

y j, produites par Téquation de Tune des surfaces, doivent

être les mêmes que les valeurs produites par l'équation de Tautre.