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Soit donc F(j:,/, :3) = o T équation de la surface donnée; si, après en avoir tiré par la différentiation les valeurs de ( ;t- ) ^t ( ^ ) ' on les substitue dans T équation différentielle des surfaces coniques,
on obtiendra enjCyfj z une équation, que nous représenterons par y (.r, j, z) = Oj et qui appartiendra à la coui'be de contact des deux surfaces; et parce que cette courbe est aussi sur la surface donnée, il s'ensuit que ses deux équations seront
F (.r, j, z) = o et /(.r, j, z) = o.
Donc , traitant ces deux équations comme dans le cas précédent , l'équation
qu'on obtiendra, sera celle de la surface conique individuelle demandée.
Lorsque le sommet du cône est un point lumineux, la courbe de contact dont nous venons de trouver les équations est celle qui, sur la surÊice donnée, sépare la partie éclairée de la partie obscure.
Lorsque le sommet du cône est le lieu d'un œil, cette courbe de contact est la ligne du contour apparent de la surface donnée pour l'œil placé au sommet du cône.
Si la surface à laquelle la surface conique doit être circonscrite est du second degré, son équation sera
H- aDjjs -h 2Ej;z + ixPxy \ = K;
ce qui donnera
((lz\ Ax + Fj + Ez + G (dz\ Fx + By+D-z-t-H
\dx)~ Ex+Dr+Cz + J' W/ ~ Ex-4-Dj+C« + J*
Substituant ces valeurs dans l'équation
..c = (.r-«) (é^^ ^ [y - b) i^^y et retranchant l'équation du second degré elle-même, on aura
EcH-
j(Fa ^-
Dc-h
i(Ea H-
Dè +
Ga-h
Wh-\-
Jr
équation qui appartient à un plan : d'où il suit que, pour toute surface du second degré , la courbe de contact avec une surface conicjue circonscrite est toujours plane.
On démontre avec la même facilité que, si la surface est du degré m , sa courbe de contact avec une surface conique circonscrite est sur une autre surface courbe du degré m — i .
Quelle que soit la surface touchée, si après avoir substitué pour
^ -T-) rt (^ ) leurs valeurs dans l'équation
on élimuie un paramètre quelconque au moyen de l'équation de la surface touchée, on obtiendra en x, j, js une équation qui appartiendra à la suite des lignes de contact de toutes les surfaces qui ne diffèrent entre elles que par le paramètre éliminé. Cette équation sera doîic celle de la surface unique qui contient toutes les lignes de
contact, et qui les détermine par ses intersections avec la suite des surfaces touchées. IMais cette équation aura tous ses ternies multipliés par l'un des trois coefficients x — a, y — è, z — c ; donc la surface à laquelle elle appartient passera nécessairement par le sommet conunun à toutes les surfaces coniques circonscrites.
Par exemple, on voit par là que, si les surfaces touchées sont des sphères concentriques qui ne diffèrent entre elles que par leurs rayons, leurs lignes de contact sont des cercles qui sont tous sur la surface d'une autre sphère, dont un diamètre est la droite qui joint le centre commim de toutes les sphères au sommet commun de toutes les surfaces coniques circonscrites.
