S XXIV

DE LA SURFACE COURBE DONT TOUTES LES NORMALES SONT TANGENTES A UNE MÈME SURFACE CONIQUE À BASE ARBITRAIRE.

Génération de la surface.

Concevons la surface conique, à base arbitraire, qui doit être touchée par toutes les normales de la surface proposée, et un plan quelconque tangent à cette surface conique, et qui la touchera, par conséquent, dans une droite menée par le sommet : cela posé, si l'on considère la série des normales à la proposée qui touchent la surface conique dans les différents points de cette droite, il est évident que toutes ces normales seront dans le plan tangent au cône; d’où il suit, 1° que ce plan sera normal à la surface proposée dans tous les points de son intersection avec elle; 2° que cette intersection elle-mêmesera une des lignes de courbure de la surface, puisque les normales à la surface, pour les différents points de cette courbe, se coupent consécutivement. Donc, si l’on concoit que ce plan

normal à la surface proposée tourne infiniment peu autour de sa

droite de contact avec le cône, considérée comme axe (mouvement pendant lequel il ne cessera pas d’être tangent au cône), et qu'il entraîne avec lui la courbe suivant laquelle il coupait d’abord la surface; comme tous les points de la courbe se mouvront perpendiculairement au plan, il est clair que cette courbe ne sortira pas de la surface, et que dans la seconde position elle sera encore l'intersection de la même surface avec le plan qui la contient alors. Donc la zone comprise entre les deux plans consécutifs peut être regardée comme engendrée par le mouvement d’une courbe plane et constante de forme autour d’un des côtés de la surface conique considérée comme axe.

Mais ce qu’on vient de dire pour une des zones peut être dit consécutivement pour toutes les autres, en observant qu'à mesure que le plan mobile change de position sans cesser d’être tangent à la surface conique, sa rotation, dans chaque instant, se fait autour de la droite de son contact actuel avec la surface conique.

Donc la surface proposée peut être regardée comme engendrée par le mouvement d’une courbe quelconque plane et constante de forme, dont le plan roule autour d’une surface conique à base quelconque.

Dans cette génération, la route de chaque point de la génératrice est constamment normale au plan mobile, et, par conséquent, perpendiculaire à la génératrice, quelle que soit la position de cette dernière. Or nous avons vu que la génératrice est la ligne d’une des courbures de la surface engendrée; donc les courbes parcourues par tous les points de la génératrice sont les lignes de l’autre courbure. Mais pendant tout le mouvement du plan, chaque point de la génératrice ne change pas de distance au sommet du cône; la courbe qu’il décrit est donc sur la surface d’une sphère dont le centre est à ce sommet : donc la surface que nous considérons est telle, que toutes les lignes d’une de ses courbures sont dans des

Ro —

plans tangents à la surface conique, et que toutes celles de l’autre sont sur des surfaces de sphères concentriques, et dont le centre commun est au sommet du cône.

La génératrice n'ayant aucun mouvement dans son plan, lorsque ce plan tourne autour d’un des côtés du cône pour passer à la position infiniment voisine, le point dans lequel la génératrice coupe le côté du cône ou touche sa surface n'a aucun mouvement, et se trouve encore sur cette courbe quand elle est parvenue dans la position suivante; deux génératrices consécutives se coupent donc en un point de la surface du cône, et le lieu de tous ces points d’intersections consécutives, qui est une courbe tracée sur la surface du cône, est une arète de rebroussement de la surface engendrée, dont toutes les nappes viennent rencontrer la surface convexe du cône dans l’arête de rebroussement, et se réfléchissent ensuite, sans qu'aucune d’elles entre dans l’espace vers lequel la surface du cône présente sa concavité.

La surface conique est évidemment le lieu des centres de la courbure dont les lignes sont sphériques. L’arèête de rebroussement se trouvant en même temps et sur la surface conique et sur la surface engendrée, il s'ensuit que, pour tous les points de cette courbe, un des deux rayons de courbure de la surface est nul; et ce rayon est celui de la courbure dont les lignes sont sphériques.

La génération que nous venons de trouver est peut-être la plus facile à concevoir; néanmoins son expression analytique ne conduit pas directement à un résultat aussi simple que celle de la génération suivante, que nous emploierons.

Concevons que dans le plan mobile, et par le sommet du cône qui est toujours dans ce plan, on mène une droite qui ne change pas de position par rapport à la génératrice, et à laquelle cette courbe, pendant tout son mouvement, puisse être rapportée comme à une directrice mobile ; il est évident que, dans toutes les positions