DRE

done, en substituant cette valeur dans la troisième, on aura

——— — —— 7-0 (@+ç?) Vita+g x :

et, par conséquent,

ma (p— ap") da Ÿ es +?) Vita +9

ce qui détermine la forme de la fonction |. Cette valeur, substituée

HSE

dans la première équation, tiendra lieu d’une des quatre, et l’arête de rebroussement sera exprimée par les trois équations

ua? — Abe cos = + arc cos HEAR EUR a 1k see V — c c es CUBES CEA ?

u u Va®+ 9° (x*— 9°)

at + YP+z—=0, LT +YP

Donc les deux équations de l’arête de rebroussement seront le résultat de l'élimination de l’indéterminée # entre les trois équations précédentes.

C’est ce résultat complété par la fonction arbitraire +, sa dérivée o’, et par une constante absolue A comprise sous le signe d’intégration f, qui est l’intégrale complète de l'équation aux différences

ordinaires (xdx + ydy + zdz)° = a° (dx? + dy° + dz° );

et l'intégrale que nous avions d’abord trouvée en la considérant comme appartenant aux caractéristiques, quoiqu’elle fût complétée par les trois constantes arbitraires «, 5, y, n’en était qu'une solution particulière.

Intégration de l'équation aux différences partielles (RE +9" + 2h a) (Ep EN Er EE

Nous avons vu que la surface à laquelle appartient l'équation aux différences partielles est le lieu de la série de caractéristiques formée de manière que deux de ces courbes consécutives se coupent: or nous avons trouvé, dans l’article précédent, la forme que doit avoir la fonction 4 pour que cette condition soit remplie; les deux équations d’une caractéristique, considérée dans une quel-

fs : 5 rte

conque de ces séries, seront donc

a hz |} (9 — av’) dx arc cos cs —+ arc cos —— 5 | FT —

V 3 Va + 0°) J (a*+o)h

al + YP+z—O,

dans lesquelles la fonction arbitraire @ détermine la nature de la série, et 4, qui est constante pour chaque caractéristique, détermine chacune de ces courbes dans la série. Donc l'intégrale de l’équation aux différences partielles (ou l’équation du lieu de la série) doit être le résultat de l'élimination de # entre les deux équations précédentes. Cette intégrale, comme on voit, est complétée, et par la fonction arbitraire &, et par la constante absolue À qui est com-

prise sous le signe d intégration /.

Propriétés de la surface relatives a la quadrature de son aire, et a la cubature de l’espace qu'elle termine.

Si l’on considère une zone de la surface comprise entre deux positions consécutives de la génératrice, il est évident que l'aire de cette zone sera égale à la somme des éléments de l’arc générateur, multipliés chacun par l’espace parcouru; et parce que la direction du mouvement de chaque point est perpendiculaire aux deux plans consécutifs, cette aire sera égale au moment de l'arc générateur par rapport au plan suivant, ou au produit de cet arc par l’espace que parcourt son centre de gravité. La même chose devant avoir lieu pour toutes les zones consécutives, il s'ensuit que l’espace parcouru par un arc quelconque de la génératrice, et compris entre deux positions quelconques du plan générateur, est égal au produit de cet are multiplié par l'arc qu’aura parcouru son centre de gravité.

Il est facile de voir qu'il en est de même par rapport à la cu-

bature de l’espace qu’aura parcouru un segment quelconque de la génératrice.

Cette surface, ainsi que toutes celles de révolution, ne jouissent de cette propriété que parce qu’elles sont des cas particuliers de la surface plus générale engendrée par le mouvement d’une courbe plane quelconque, dont le plan roule autour d’une surface développable quelconque, surface dont nous nous occuperons dans un autre paragraphe.