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du plan générateur, les distances d’un même point de la génératrice à la directrice et au sommet du cône ne changeront pas. La directrice, par son mouvement, engendrera une autre surface conique qui aura même sommet que la première, et à laquelle le plan mobile sera constamment normal. Cette seconde surface conique dépendra de la première, qui en est une développée; en sorte que si l'équation de la première était déterminée, celle de la seconde en serait dérivée par intégration. Mais si la première surface conique est considérée comme arbitraire, la seconde, qui est, par conséquent, aussi arbitraire, peut, à son tour, être considérée comme indépendante, et comme la seule qui serve à la génération. Donc la surface proposée peut aussi être regardée comme engendrée par le mouvement d’une courbe plane quelconque, dont la directrice parcourt la surface d’un cône à base quelconque, et dont le plan est constamment normal à la surface conique, la courbe n'ayant d’ailleurs aucun mouvement dans son plan.

Il suit de là que la surface dont il s’agit est celle d’une moulure quelconque poussée sur une surface conique à base quelconque, et dont le profil arbitraire, mais constant, est toujours dans un plan normal à la surface conique, et à la même distance du sommet.

Equation de la surface en quantités finies.

En employant la seconde génération, nous avons vu que pour tous les points d’une même ligne de la seconde courbure, c’est àdire de la courbe engendrée par un même point de la génératrice, la distance à la surface conique et la distance au sommet du cône sont toutes deux constantes; et il est évident qu’en passant d’une des lignes de cette courbure à une autre de la même espèce, ces deux distances varient. Ces deux grandeurs qui, pour les diffé-

rents points de la surface engendrée, sont constantes ensemble et variables ensemble, sont donc fonctions l’une de l’autre.

Or, en supposant que le sommet du cône soit à l'origine, et représentant par x, y, z les coordonnées du point de la surface engendrée, et par +’, y’, 3’ celles du pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la surface conique, le carré de la distance du point au sommet du cône sera æ° + y* + z°, et celui de sa distance à la surface conique sera (x — 2°) + (y — y") + (3 — 7) on aura donc pour équation de la surface

dans laquelle la fonction 4 est arbitraire, et où il ne s’agit plus que de trouver les valeurs de x”, y” et z’.

On sait que l'équation générale de la surface conique dont le x ; > Te £ «= . r À sommet est à l’origine, est = — 9 (£), la fonction ç étant arbitraire ; ou qu'en représentant par z la quantité qui est sous la fonction, elle est le résultat de l’élimination de x entre les deux

équations

TL — Z&, ï à ee zQ.

Le pied de la perpendiculaire étant sur la surface conique, on aura donc entre ses trois coordonnées les deux équations suivantes :

LA = z'a, Cal en z'®,

et le carré de la perpendiculaire deviendra

Mais cette perpendiculaire étant un minimum, sa grandeur ne doit point varier, soit qu'on fasse varier z’ seule, soit qu’on fasse varier z seule: donc ses différentielles, prises en regardant succes-

sivement z et « comme seules variables, doivent être nulles; ce qui donne les deux équations

(x — z'a)a+ (y — 3e) p+z— 7 —0, (x — za) + (y — z'p)g — 0.

On aura done, entre les trois coordonnées x”, y”, z', quatre équa-

tions. Tirant des trois premières les valeurs de ces coordonnées, et faisant, pour abréger,

ax+ye+z —M,

1 + a + p—h", on aura

x’ h? — Ma, Y'h? — Mo, z'h? — M ;

substituant ces valeurs dans l'équation de la surface, et développant, on aura

2 2 D M 2 2 o MS Or Er Ne Je 21);

et parce que la fonction 4, qui est arbitraire, absorbe la quantité æ° + y° + z°, qui est dans le premier membre, cette équation deviendra

M= hd(x° + y" + 2°),

ou ax + YP+z— Vice to N(x LE y? AL 5 +).

Mais, des quatre équations que nous avions entre les trois coordonnées æ’,y7',z, nous n’en avons encore employé que trois. Si donc on substitue pour z” sa valeur dans la quatrième, on aura

CD

ou, à cause de l’équation précédente,

a / —— PARA ET RATER

équation qui doit aussi avoir lieu, et qui servira à éliminer # de l'équation de la surface.

Donc l’équation de la surface engendrée est le résultat de l’éli-

mination de « entre les suivantes :

ax +yp+z= Vita <q d(x +y" +2), (a+ opp)d(x+r+zt) Vi+a+o

X + Yo? =

De ces deux équations, il est facile de voir que la seconde est la différentielle de la première prise en ne faisant varier que &; ainsi, en représentant la première par N — 0, l'équation de la surface est le résultat de l’élimination de « entre les deux suivantes :