NE; LAN VIRE (T

Il suit de là que la surface engendrée peut être considérée comme

l'enveloppe de l’espace parcouru par la surface dont l’équation serait la première des deux précédentes, et qui se mouvrait en vertu de la variation du paramètre &. Mais, en regardant « et æ comme deux constantes indépendantes, ce qui arrête le mouvement de la

surface mobile, la première de ces équations N — 0, ou AT yo+sz—=NI Pa Core TE

est celle d’une surface de révolution, dont l’axe, déterminé d’ailleurs de position par les deux constantes & et gx, passe par l’origine, et dont la distance à l’origine est mdépendante de la quantité «. De

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plus, si, comme nous le supposons ici, les quantités « et ga sont des variables dépendantes l’une de l’autre, lorsque la quantité « varie, l’axe dont les équations sont x — az et y — z@4, parcourt une surface conique quelconque, dont le sommet est à l’origine; donc la surface peut être engendrée d’une troisième manière, ainsi qu'il suit :

Si une surface quelconque de révolution se meut de manière, 1° que son axe, passant toujours par l’origine, parcoure une surface conique quelconque; 2° qu'un même point de la surface mobile ne change pas de distance au sommet du cône, l'enveloppe de l’espace qu’elle parcourra sera la surface que nous considérons.

Cette troisième génération, qu’on aurait pu démontrer à priori, fournit une vérification des équations que nous avons trouvées.

Equations des deux lignes de courbure en quantités finies. dN da quantité « comme une constante arbitraire qui doive subsister, ces

Si, dans les deux équations N — 0, ( ) — 0, on regarde la

deux équations sont celles de la génératrice considérée dans la position déterminée par la valeur de «, qui est constante pour elle; par conséquent, elles sont celles de la ligne plane de courbure, et il est facile de voir qu’elles appartiennent à une courbe plane, puisque, par l’élimination de la fonction 4, on obtient l'équation d’un plan.

Mais, si la quantité « est regardée comme une variable indéter-

minée qui doive disparaître par l'élimination, les deux équations

| dN Er < ; Ne 0 (Te) — o se réduisent à une seule, qui est celle de la

surface engendrée; et parce que la ligne de la seconde courbure est sur la surface d’une sphère dont le centre est à l’origine, et dont le rayon, variable en général, est constant pour chaque ligne individuelle, il s'ensuit que, des équations de la ligne sphérique de

Pa 2094 es courbure, la première sera

SE A me Ne OU

et la seconde sera le résultat de l’élimination de l’indéterminée entre les deux équations

dN\ MATTER

dans lesquelles est la constante arbitraire qui détermine la ligne de courbure individuelle.

Equations de l'aréte de rebroussement en quantités finies.

Nous venons de voir que les équations de la génératrice sont

Neo et o, dans lesquelles x est la constante qui déter- DE q q

mine la position de cette courbe. Done, si l’on différentie ces équations, en regardant + comme seule variable, les x, y, z, qui se trouveront dans les différentielles, appartiendront au point d’intersection de deux génératrices consécutives, et, par conséquent, au point de l’arête de rebroussement; mais, par la différentiation, on n’ob-

: ; - UIRdanN ——— tient qu'une équation nouvelle, savoir (Te) — 0: ainsi, entre les

trois coordonnées «, y, z, du point de l’arête de rebroussement, on aura les trois équations

NE

dN x | dd N AY, 40)

au moyen desquelles ces trois coordonnées pourront être détermi-

nn Cp} 9 5 mr

nées d’après une valeur de la constante arbitraire #. Donc les équations de la courbe qui est le lieu de tous les points semblablement déterminés, c’est-à-dire les équations de l’arête de rebroussement, sont le résultat de l'élimination de x entre les trois équations précédentes.

Des deux équations de la surface aux différences partielles du premier ordre. |

Si, par un point quelconque de la surface courbe, on conçoit un plan tangent, la distance de l’origine à ce plan, et celle de la même origine au point de contact, seront toutes deux variables en général. Mais, si le point de la surface se meut sans sortir de la même ligne sphérique de courbure, et entraîne avec lui le plan qui ne cesse pas d’être tangent, il est évident que ces deux distances seront constantes: donc, pour la surface que nous considérons, ces deux grandeurs sont constantes ensemble et variables ensemble, et, par conséquent, fonctions l’une de l’autre, la nature de la fonction étant, d’ailleurs, déterminée par celle de la génératrice.

Or le carré de la distance de l’origine au point de la surface courbe est x° + y? + z°; de plus, en représentant par x”, y”, z' les coordonnées du plan tangent, l'équation de ce plan est

gp —qY —=2—pX—4qY; et l’on sait que, si l'équation d’un plan est AT by e0z—i); la grandeur de la perpendiculaire abaissée de l’origine sur ce

plan est D