LU

el =

Se ni leur ME mat de (po ap)?

Cette valeur, substituée dans la troisième, opère l'élimination dont

Cr

le résultat 2 pe mn Pere 7° (a+ 9°) Vi + a +9

doit déterminer la forme de la fonction 7, que l’on trouve en intégrant

/ — ao!) dax do [. (p—«x9") tie J (a+) Vi + ai + gi) La valeur de 7, substituée dans les quatre équations, tient lieu d’une d’entre elles ; elles se trouvent par là réduites aux trois suivantes :

| Fdu zh é (9— ao) da © + ATC COS — © — |- | — J'uvu —#? u Va? + ç° (+) Vi + a? + 9°

qui, pour une valeur de x, déterminent celles des trois coordonnées x, Y, z du point de l’arète de rebroussement. Donc les deux équations qui résultent de l’élimination de x entre les trois équations précédentes, sont l'intégrale complète de l'équation aux différences ordinaires. Ce résultat comprend, comme cas particulier, l'intégrale qui n’était complétée que par les trois constantes arbitraires x, £, y. De ces trois équations intégrales, les deux premières sont celles de la caractéristique regardée comme faisant partie d’une série dont le lieu est une des surfaces que nous considérons; et la constante arbitraire +, par sa valeur, détermine dans cette série la courbe individuelle. Donc le résultat de l’élimination de x entre ces deux premières équations sera l'équation de la surface, et, par conséquent, l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles.

Lorsque la fonction YF est arbitraire, ce qui a lieu si l’on considère la proposée comme l'intégrale de l'équation aux différences partielles du second ordre, la quantité | PAS est aussi une

"NIAMELE

fonction arbitraire que l’on peut représenter par un signe particulier 7. Donc l'intégrale finie de l'équation aux différences partielles du second ordre est le résultat de l'élimination de « entre les deux équations :

ax + y? +2?) + arc cos} — ( 4 ) Vr +7 + 2° Va? +0?

ax +YP+z—=O.

aVite+ | (g— ag") de ñ

a +p)Vire eg”

Intégration de l’autre intégrale première

JP ATP HENSET (IE).

QX —PY qe —py Si l’on représente par 4 la quantité qui est sous le signe de la fonction ®, on aura les deux équations

bn nt mn X + pz —= a (gx — pY).

Ces deux équations peuvent être remplacées par les deux suivantes:

ax + Y® + z — 0, ap + {® — 1 — 0,

dont la première est destinée à éliminer l’indéterminée x de la seconde, et dans lesquelles les différences partielles sont linéaires. Or il est évident que, quelle que soit la forme de la fonction ®, la valeur de «, prise dans la première et substituée dans la seconde, n'y introduira que les quantités æ, y, z: donc, si l’on différentie la seconde en regardant p et y comme seules variables, on aura P— x, Q — 9%; par conséquent, l'équation de la caractéristique sera a dy — ddx — 0, ou, remettant pour & et ® leurs valeurs,

(Y + gz) dy + (x + pz)dx = 0,

ou enfin xdx + yYdy + zdz = 0,

dont l'intégrale est x? y ds de

y étant la constante arbitraire.

Ainsi la caractéristique est sur la surface d’une sphère dont le centre est à l’origine, et dont le rayon y a une valeur particulière pour chaque caractéristique individuelle ; c’est-à-dire que, si l’on conçoit la surface coupée par une série de surfaces sphériques dont les centres soient à l’origine, les intersections seront la série des caractéristiques. Or les surfaces de sphères concentriques ne se coupent en aucun point: donc deux de ces caractéristiques consécutives ne peuvent se couper; donc leur série ne peut donner lieu à une arête de rebroussement ; donc enfin la surface, en vertu de sa génération, n’aura d'autre arête de rebroussement que celle qui est touchée par toutes les caractéristiques planes, et dont nous avons parlé dans l’article précédent. On pourrait encore conclure que la caractéristique sera exprimée aux différences ordinaires par deux équations distinctes, et cette conséquence, ainsi que les précédentes, résulterait de ce que les différences partielles sont linéaires dans la proposée. Mais, pour éviter de trop grandes généralités, nous nous contenterons ici de prouver cette dernière proposition -à posteriori.

Si, dans la proposée qui résulte de l'élimination de 4 entre les deux équations

ax + Y® + z —.0,

COETDEENE—0

on substitue pour q sa valeur tirée de dz — pdx + qdy, la seconde

devient p (ady — ddx) = dy — dz,

HI

et appartient encore à la surface entière; mais, si l’on considere seulement la caractéristique pour laquelle on à &dy — dr — 0, le premier membre devient nul. Le second l’est donc aussi pour elle , et l’on a

dy our,

et, par conséquent encore, Ti Ale

Eliminant + entre ces deux équations, on aura aussi pour la caractéristique l'équation aux différences ordinaires

qu'on peut réduire aux deux seules variables x, y, en chassant z et dz au moyen de la première équation de cette courbe. Ainsi la caractéristique a donc les deux équations aux différences ordinaires

distinctes axdx + ydy + zdz = 0,

DIPERER (de xdx + ydy ei xdx + ydy 4

dans la dernière desquelles est une constante.

De ces deux équations, l’une est déjà intégrée, et son intégrale est complétée par la constante arbitraire y. Lorsque nous aurons intégré l’autre, dont l'intégrale sera complétée par une autre constante arbitraire d, si l’on regarde les deux constantes y, Ÿ comme susceptibles de toutes les valeurs possibles, les deux équations intéorales appartiendront à la caractéristique sphérique considérée d'une manière abstraite, c’est-à-dire à toutes les caractéristiques individuelles qui se trouvent sur toutes les surfaces soumises à la sénération dont il s’agit ; le lieu de toutes ces caractéristiques sphé-