LS

riques sera l’espace entier. Mais si l’on veut former une série de ces courbes dont le lieu soit sur une surface courbe, il faut établir entre yet d une relation; ce qui se réduit à faire d — Yy: alors les deux intégrales ne renfermeront plus que la seule constante arbitraire y, dont la valeur déterminera sur la surface la caractéristique individuelle; et, par conséquent, l'élimination de y entre ces deux intégrales produira en x, y, z l'équation de la surface qui sera le lieu de la série. Cette surface sera la plus générale qu’il sera possible, et son équation sera l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles, si la fonction Y est arbitraire. Tout se réduit donc actuellement à intégrer la seconde équation aux différences ordinaires

PNR NE de 4 CEA em ee A xdx + ydy xdx + ydy

Pour cela, soit représentée par © la quantité qui est sous le signe de

la fonction, on aura

dx Vy—x — 7° — (xdx + ydy)o,

dy Vy— x — y? = (xdx + ydy)%o, desquelles on tire les deux suivantes, qui en tiendront lieu,

wdy — ddx = 0,

œX — y® Vr—x— 7".

Si © était constante, l'intégrale de la première serait

æy — x — constante ;

mais, © étant variable, la constante doit être une fonction de w, que nous représenterons par fo, et qui doit d’abord être telle, que la différentielle de l'intégrale, prise en ne faisant varier que w, ait

— Ho0t

lieu. A la place des deux équations précédentes, on aura donc les trois suivantes :

(a) ©Y — xD — fo, (b) T—xb = f", (c) œX — VD — Vy—zx—7y?,

qui, par l'élimination des deux variables x, y, donneront en , ® -et f'une équation aux différences ordinaires qui servira à déterminer la forme de la fonction f:

Or, en faisant, pour abréger, SEE — y, le résultat de cette Voirie.

élimination est dv (D — w®") do Mrs vas NV Ta LS V7 —v (w?+ D?) V1 + uw? + D?

équation dans laquelle les variables sont séparées, et dont l'intégrale complétée par la constante arbitraire d'est

es (D — D") do FH (+6) Vito +: |"

Remettant pour v sa valeur, et faisant, comme nous l'avons dit, à — y, on aura, pour la valeur de f,

notre fe D — wo’) 4 f—= y Ve + sin [y + Jos sn |

(w°+ D?) Vrac:

Cette valeur, substituée dans les trois équations (a), (b), (c), tiendra lieu de l’une d’elles, de la troisième par exemple; et parce que la seconde est la différentielle de la première, prise en regardant

comme seule variable, il s'ensuit que, si l’on MT par M la quantité suivante :

dans laquelle on a

Y'=%+Y "+ 2", l'intégrale complète de l’intégrale aux différences partielles sera le résultat de l'élimination de » entre les deux équations

"dM Cr La zone de la surface comprise entre deux caractéristiques planes

consécutives peut être regardée comme le fuseau infiniment étroit d’une surface de révolution autour de l'intersection des deux plans, considérée comme axe ; l’aire de cette zone est donc égale à l'arc de la génératrice multiplié par l’espace que parcourt le centre de gravité de l'arc pendant la génération de la zone. Donc l’aire finie, parcourue par un arc quelconque de la génératrice, est égale au produit de cet are multiplié par l'arc que parcourt le centre de gravité de l’arc générateur. Il est facile de voir aussi que la eubature . de l’espace parcouru par un segment ou un secteur de la génératrice est égale au produit de l'aire de ce segment ou de ce secteur, multiplié par l'arc que parcourt le centre de gravité du segment ou du secteur. Cette surface, quoique son équation contienne deux fonctions arbitraires, n’est encore qu’un cas particulier de celle qui jouit de la même propriété, et dont nous nous occuperons dans un autre paragraphe.