LU— O, H
ce qui donne
fé / p'=x, qg'=x.
Substituant dans les trois équations ci-dessus, elles se réduiront
— Jde aux deux suivantes :
p'x" + g'y"= 0, DPI qq! = 0,
entre lesquelles éliminant p”, g”, seules quantités qui contiennent encore +’, y”, On aura | p"y" a gx" Er
équation aux différences partielles du premier ordre qui appartient à une surface quelconque de révolution autour de l’axe des z, et qui d’ailleurs ne statue rien sur la nature du méridien de cette surface, qui est par conséquent arbitraire.
Donc, lorsqu'une des surfaces des centres se réduit à une droite, l'autre surface des centres est de révolution autour de cette droite
considérée comme axe.
AE
Passons maintenant à un autre cas particulier relatif à l’objet du paragraphe suivant, et supposons que la première surface des centres soit une surface développable quelconque; l'équation de cette surface sera, comme on sait, le résultat de l'élimination de l’indéterminée x entre les deux équations suivantes :
z— x'Da + Wa = HIMROE xD 7 + Y'W'a ae
dont la seconde est la différentielle de la première, prise en regardant : comme seule variable, et dans lesquelles les fonctions + et w sont arbitraires.
En différentiant, on aura / / 1 Pp —= a, q —= Ya;
et substituant pour 2’, p', q' leurs valeurs dans les équations ci-
dessus, on trouvera
2 = x'Oa + y Vata, 0—p'@a+q'Ya+ 1.
En sorte que l’équation de la seconde surface des centres est le résultat de l'élimination de x entre les deux équations précédentes, élimination qui ne peut s'effectuer que lorsque les fonctions ® et Y sont déterminées. Cette équation se présente sous la forme d’une différentielle partielle du premier ordre, et l’est, en effet, quand les formes des deux fonctions sont déterminées ; mais si ces fonctions sont regardées comme arbitraires, ce qui a lieu lorsque la première surface des centres est considérée comme une surface développable quelconque, l’équation de la seconde surface des centres, pour ne plus rien contenir d’arbitraire, et être délivrée de toutes les fonctions, doit être portée aux différences partielles du troisième ordre. Nous aurons bientôt occasion de voir que cette surface n’est autre chose que celle qui va faire l’objet de ce paragraphe.
Ces préliminaires étant posés, nous allons nous occuper de la surface dont toutes les normales sont tangentes à une même surface
développable quelconque.
Vos
Générations de la surface.
Première génération. — Une surface courbe étant telle, que toutes ses normales soient tangentes à une même surface développable, concevons un premier plan quelconque tangent à la surface développable, et qui la touchera, par conséquent, en une droite; ce plan coupera la surface proposée dans une courbe, pour chaque point de laquelle la normale à la surface sera dans le plan : 1l sera : donc lui-même normal à la surface dans chacun des points de son intersection avec elle, de la même manière que le plan d’un méri-
Dit)
dien quelconque d’une surface de révolution est normal à cette surface dans chacun des points de la courbe du méridien. Concevons ensuite un second plan tangent à la surface développable, infiniment voisin du premier, et qui coupera le premier dans la droite de son contact avec la surface développable; ce second plan tangent coupera la surface proposée dans une nouvelle courbe, et sera lui-même normal à la surface dans tous les points de cette intersection. L'élément de la surface proposée compris entre ces deux intersections consécutives, et qui sera partout perpendiculaire en même temps aux plans qui les produisent, pourra donc être regardé comme le fuseau indéfini d’une surface de révolution compris entre ces deux plans considérés comme méridiens consécutifs, et dont l’axe de rotation sera la droite d’intersection de ces deux plans. Cet élément pourra donc être regardé comme engendré par le commencement de rotation de l'intersection de la surface par le premier plan autour de la droite de son intersection avec le second; et, par conséquent, la courbe génératrice viendra s’appliquer sur l’intersection de la surface du second plan, et se confondre avec elle. |
Concevons encore un troisième plan tangent à la surface développable, et infiniment voisin du second ; il coupera le second plan dans une autre droite infiniment voisine de la première, et qui, comme elle, sera sur la surface développable. Ce troisième plan sera aussi normal à la surface dans tous les points de son intersecüon avec elle; l'élément de la surface compris entre cette troisième intersection et la seconde pourra aussi être regardé comme engendré par le commencement de la rotation de la seconde autour de la seconde droite; et, dans ce mouvement, la seconde intersection vient s'appliquer sur la troisième et se confondre avec elle.
En continuant de considérer ainsi la suite des plans consécutivement tangents à la surface développable, et qui touchent cette sur-
face dans les droites consécutives dont elle est le lieu général, on voit que chacun de ces plans produit une section sur la surface proposée, et que ces sections sont telles, que si la première se meut d'abord en tournant autour de la droite de son plan avec la surface développable, et qu’elle continue à se mouvoir en tournant toujours autour de la droite variable du contact de son plan actuel, elle viendra successivement s'appliquer sur toutes les autres, et se confondre entièrement avec chacune d'elles.
Il suit de là que la surface proposée peut être regardée comme engendrée par le mouvement d’une courbe plane arbitraire, constante de forme et de grandeur, et dont le plan roule sans glisser sur une surface développable quelconque.
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Quelle que soit la nature de la surface développable sur laquelle roule le plan de la génératrice, et quelle que soit la nature de la génératrice elle-même considérée dans son plan, la surface engendrée a plusieurs propriétés générales indépendantes de ces particularités. L’énoncé de chacune de ces propriétés générales peut être regardé comme une définition complète et suffisante de la surface; et toutes ces propriétés sont exprimées dans une seule équation, ou peuvent en être déduites par les règles de l'analyse. Nous allons d’abord nous occuper de celles de ces propriétés générales qui se déduisent le plus facilement de la génération que nous venons de trouver.
