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contrent consécutivement deux à deux, c’est-à-dire sont toutes tangentes à une même courbe, qui, en général, est à double courbure, et réciproquement. Or, si, considérant la génératrice de la proposée dans une position quelconque, on mène par tous ses points des normales à la surface, ces droites, qui seront aussi normales à la génératrice, seront toutes dans le plan générateur, elles se rencontreront donc consécutivement deux à deux, et elles. seront toutes tangentes à une même courbe, qui, dans ce cas, sera la développée plane de la génératrice.

Il suit de là, 1° que la génératrice, dans toutes ses positions, est la ligne d’une des courbures de la surface engendrée; 2° que cette ligne de courbure est toujours plane. Maïs un plan ne peut être susceptible d’une seule série de positions, ‘et être mobile d’une manière plus générale que de rouler sur une surface développable quelconque : donc il n’y a point d’autre surface qui Jouisse de Ja même propriété ; donc la surface engendrée est définie d’une manière complète lorsque l’on énonce qu’une de ses lignes de courbure est constamment plane.

La courbe parcourue par chacun des points de la génératrice est perpétuellement normale au plan générateur; elle est donc aussi perpétuellement normale à la génératrice, et, par conséquent,

aux lignes d’une des courbures : donc elle est une des lignes de l’autre courbure.

Il est bien évident que la surface développable touchée par toutes les normales, ou sur laquelle roule le plan générateur, est la surface des centres d’une des courbures; mais nous venons de voir qu’en considérant le plan générateur dans une position quelconque, toutes les normales à la surface qu'il contient sont tangentes à la développée plane de la génératrice : cette développée

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est donc sur la surface des centres de l’autre courbure, surface qui est le lieu de toutes les développées qui conviennent aux positions différentes et successives du plan générateur. Or, la génératrice est constante de forme et de position dans son plan mobile; sa développée est, par conséquent, aussi constante de forme et de position dans le même plan : donc, en même temps que la génératrice engendre la surface proposée, sa développée constante engendre la surface des centres de la seconde courbure.

La surface proposée est donc définie d’une manière complète lorsque l’on dit que la surface des centres de l’une de ses courbures est engendrée par le mouvement d’une courbe plane constante de forme, dont le plan, sans glisser, roule sur une surface développable quelconque, ou lorsque l’on dit que la surface des centres d'une de ses courbures a toutes ses normales tangentes à la même surface développable. |

La surface proposée peut avoir des lignes singulières ou des points singuliers qui dépendent et de la surface développable sur laquelle roule le plan générateur, et de la nature même de la génétrice; mais, indépendamment de ces particularités, elle a une arête de rebroussement nécessaire, qui est une suite de sa génération. En effet, concevons que le plan générateur roule sur la surface jusqu'à ce que la génératrice se soit entièrement appliquée sur elle, et que les points dans lesquels se fait cette application laissent leurs traces sur Ja surface développable; on aura sur cette surface une courbe à double courbure, qui sera en même temps sur la surface engendrée. Cela posé, considérons un point quelconque de la génératrice; ce point décrit une courbe qui d’abord s'approche de plus en plus de la surface développable, à laquelle elle devient perpen-