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diculaire au moment où le point décrivant s'applique sur cette surface. Le point décrivant, ne pouvant pas pénétrer au delà de la surface développable, se réfléchit; la nouvelle branche de la courbe qu'il parcourt commence par être encore normale à la surface developpable, dont elle s'éloigne ensuite de plus en plus. La ligne de seconde courbure qu’il parcourt a donc un point de rebroussement placé sur la surface développable en un des points de la trace de la génératrice. La même chose ayant lieu pour toutes les autres lignes de seconde courbure, il s'ensuit que la surface engendrée a une arête de rebroussement ; que cette arête est la trace même de la génératrice sur la surface développable ; qu’elle est perpétuellement touchée par la génératrice, et qu’elle est, par conséquent, le lieu de l’intégrale particulière de toutes les lignes de courbure planes.

Si l’on suppose que le plan générateur continue de rouler sur la surface développable jusqu’à ce que la développée de la génératrice s’y soit aussi entièrement appliquée, et que cette développée y ait aussi laissé sa trace, on aura sur la surface développable une nouvelle courbe à double courbure, qui sera évidemment une arête de rebroussement pour la surface des centres de la seconde courbure. Cette arête se trouvant en même temps sur les deux surfaces des centres, chacun de ses points sera un centre commun aux deux courbures. Donc, si l’on conçoit toutes les tangentes possibles à cette arête, chacune de ces droites sera normale à la surface engendrée, et la coupera en un point pour lequel les deux courbures de la surface seront égales entre elles et dans le même sens. Donc la courbe qui passera par tous ces points sera sur la surface une ligne singulière; ce sera celle de ses courbes sphériques.

La surface engendrée jouit généralement de la propriété exprimée par la règle de Guldin; car, si l’on suppose qu’un are fini et constant de la génératrice soit entraîné par le plan générateur et parcoure une zone finie sur la surface, cette zone finie pourra être considérée comme divisée, par les positions consécutives de la génératrice, en fuseaux infiniment étroits de surface de révolution : l'aire de chacun de ces fuseaux sera égale à l’arce multiplié par le chemin que parcourt le centre de gravité de cet arc; done l’aire de la zone entière sera égale à cet arc, facteur commun, multiplié par la somme des espaces parcourus par le centre de gravité.

On reconnaît de même que si l’on circonscrit sur le plan générateur un espace par une courbe quelconque continue ou discontinue, mais rentrante en elle-même, la solidité du volume parcouru par cet espace est égale au produit de l'aire de l’espace multiplié par l’arc que parcourt le centre de gravité de l’aire.

XIT.

Si la génératrice est une droite fixe dans le plan et mobile avec lui, la surface engendrée sera une nouvelle surface développable, dont l’arête de rebroussement, perpétuellement touchée par la droite génératrice, est entièrement sur la première surface développable. Cette nouvelle surface développable est perpétuellement normale au plan générateur, tandis que la première est perpétuellement touchée par lui. Enfin, ces deux surfaces développables ont entre elles cette relation, que la première est la développée de la seconde : ainsi les surfaces développables ne sont qu'un cas infiniment particulier de la surface que nous considérons.

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XIIT.

Seconde génération. — Une surface quelconque de révolution, constante de forme et de grandeur, étant supposée fixe sur son axe, mais mobile avec lui, concevons que l'axe tourne autour d’un de ses propres points, et entraine la surface de révolution dans une seconde position, à une distance quelconque de la première; on aura alors deux surfaces de révolution semblables et égales entre elles, et placées à égales distances du point d’intersection de leurs axes. Ces deux surfaces se couperont dans une courbe plane, dont le plan passera par le point commun aux deux axes, sera perpendiculaire au plan des deux axes, et partagera en deux parties égales

l’angle que les deux axes forment entre eux.

Cela posé, concevons que l’axe de la surface de révolution roule sur une courbe à double courbure quelconque, c’est-à-dire se meuve de manière à être perpétuellement tangent à cette courbe, sans glisser sur elle, et qu'il entraîne avec lui la surface de révolution ; il engendrera une surface développable qui aura pour arête de rebroussement la courbe perpétuellement touchée, et la surface de révolution, constante de forme et de grandeur, parcourra un espace dont l’enveloppe sera la surface dont nous nous occupons.

En effet, considérons deux enveloppées consécutives qui sont ici deux surfaces de révolution semblables et égales entre elles, dont les axes se coupent, puisqu'ils sont deux tangentes consécutives d’une même courbe, et qui sont toutes deux à la même distance de ce point de rencontre des deux axes. La courbe d’intersection de ces deux enveloppées, courbe qui sera la caractéristique de l'enveloppe, sera plane, ne différera pas du méridien de l’enveloppée, et sera, par conséquent, constante de forme comme lui. Le plan de cette caractéristique passera par le point commun aux deux

OT

axes, et sera perpendiculaire au plan qui passe par ces deux axes; il sera donc perpendiculaire au plan tangent à la surface développable parcourue par l’axe. Enfin ce plan, devant partager en deux parties égales l'angle infiniment petit formé par deux axes consécutifs, pourra être considéré comme passant par l’un d’eux, et, par conséquent, comme tangent à la courbe touchée par l’axe mobile. Donc le plan de la caractéristique sera perpétuellement tangent à la surface développable qui est la développée de celle que parcourt l’axe. Mais ce plan est normal à l'enveloppe dans tous les points de la caractéristique: donc il contiendra toutes les normales pour les différents points de la caractéristique; donc toutes ces normales seront tangentes à la surface développable, développée de celle qu'engendre l'axe; donc l'enveloppe est telle, que toutes $es normales sont tangentes à une même surface développable.

Dans la génération que nous venons de donner, les points qui se correspondent dans les différentes caractéristiques sont tous à la même distance de leurs axes respectifs; les courbes qui passent par ces points homologues ont donc tous leurs points à la même distance de la surface développable parcourue par l'axe de l’enveloppée: donc la surface que nous considérons n’est autre chose que celle de la moulure générale poussée sur une surface développable quelconque, au moyen d’un profil arbitraire continu ou discontinu, mais qui doit être plan, et dont le plan doit toujours être normal à la surface développable, et être tangent à l’arête de rebroussement. de cette dernière surface. |

Cette propriété comporte encore une définition complète et exacte de la surface que nous considérons.