AVE

Toute surface de révolution peut être regardée comme l’enveloppe de l’espace parcouru par une sphère variable de rayon, et dont le centre se meut sur l’axe. Dans la génération précédente, chacune des enveloppées peut donc elle-même être regardée comme l'enveloppe de l’espace parcouru par une sphère variable arbitrairement de rayon, et dont le centre se meut sur une des droites de la surface développable ; mais ce qu’il y a d’arbitraire dans la variation du rayon n'a lieu que pour une seule surface de révolution : en sorte que, pour toutes les autres, les sphères dont les centres se trouvent sur une même ligne de courbure de la surface développable doivent avoir le même rayon que celle qui leur correspond dans la première surface de révolution.

D'après cela, étant donnée une surface développable quelconque, si l’on conçoit qu’une sphère variable de rayon se meuve de manière que son centre parcoure successivement tous les points de cette surface, avec cette condition cependant que la sphère soit toujours de même rayon lorsque son centre est sur la même ligne de courbure de la surface développable, quelle que soit d’ailleurs la loi suivant laquelle elle en change quand le centre passe d’une des lignes de courbure à une autre, cette sphère parcourra un espace dont l'enveloppe générale, ou la double enveloppe, sera la surface que nous considérons.

Il est nécessaire de donner une épithète à l'enveloppe dont il s’agit ici, parce qu'elle diffère de toutes celles dont nous nous sommes occupés Jusqu'à présent. Les enveloppes simples touchent l’enveloppée dans une courbe qui est la caractéristique et qui est l'intersection de deux enveloppées consécutives. L’enveloppe que nous considérons ne touche chaque enveloppée qu’en un seul

point, déterminé sur l’enveloppée par l'intersection des deux caractéristiques. Dans le cas présent, une quelconque des sphères est coupée dans la circonférence d’un de ses petits cercles par celle qui la suit immédiatement, et dont le centre est placé sur la même droite de la surface développable; elle est coupée dans la circonférence d’un de ses grands cercles par celle qui la suit immédiatement, et dont le centre est sur la même ligne de courbure de la surface développable : et c’est dans le point d’intersection de ces deux circonférences qu’elle est touchée par la double enveloppe.

La courbe qui touche la série des petits cercles de mêmes rayons, et qui est leur intégrale particulière, est une des caractéristiques de la double enveloppe; celle qui touche une série de grands cercles de rayons différents, et qui est leur intégrale particulière, est l’autre caractéristique de la double enveloppe: et c’est encore dans l’intersection de ces deux caractéristiques que la double enveloppe touche la sphère individuelle.

X VI

Dans la dernière génération, si l’on considère la suite des sphères de même rayon, dont les centres sont placés sur la même ligne de courbure de la surface développable, l'enveloppe simple de ces sphères sera la surface d’un tuyau circulaire de rayon constant, et dont l’axe curviligne sera la ligne de courbure elle-même. Cette surface sera touchée par la surface ‘engendrée dans une courbe dont tous les points seront distants de la ligne de courbure, d’une quantité égale au rayon constant du tuyau; et si l’on considère les surfaces de deux de ces tuyaux consécutifs et de rayons différents, elles se couperont dans la courbe de contact du tuyau avec la surface engendrée.

Done, si l’on suppose que la surface du tuyau soit mobile, de

manière, 1° que son axe curviligne se confonde successivement avec les différentes lignes de courbure de la surface développable; >° que son rayon, qui est constant pour toute l'étendue du tuyau, varie d’une manière quelconque, en même temps que l'axe curviligne change de position, elle parcourra un espace dont l’enveloppe simple sera la surface engendrée. La surface du tuyau mobile est donc une enveloppée nouvelle, et l'intersection de deux de ces enveloppées consécutives produit la seconde caractéristique de l'enveloppe, comme l'intersection de deux surfaces de révolution consécutives produit la première.

Donc enfin, en regardant la seconde caractéristique comme une génératrice, la surface est engendrée par le mouvement d’une courbe variable de forme et de grandeur, qui se meut de manière qu’elle soit perpétuellement une trajectoire orthogonale du plan mobile qui contient la génératrice plane.

Recherche de l'équation intégrale de la surface.

Nous avons vu que la surface dont toutes les normales sont tangentes à une même surface développable quelconque est susceptible de cinq générations essentiellement différentes.

Elle peut être engendrée par une courbe mobile de deux mauères différentes: ou par une courbe plane, constante de forme, de grandeur et de position dans son plan, mais dont le plan roule sans glisser sur la surface développable; ou par une courbe à double courbure, variable de grandeur, qui se meut de manière qu'elle ne cesse pas d’être une trajectoire orthogonale au plan mobile qui contient la génératrice plane.

Elle peut être considérée comme enveloppe simple de l’espace parcouru par deux surfaces mobiles essentiellement différentes : ou

par une surface de révolution quelconque constante de forme et de position sur son axe, mais dont l’axe se meut de manière à être perpétuellement tangent à une même courbe à double courbure; ou par la surface d’un tuyau à section circulaire, dont le rayon est constant dans toute son étendue, dont l’axe curviligne se confond perpétuellement avec la ligne de courbure d’une même surface développable, et qui se meut de manière qu’elle change de rayon suivant une loi quelconque, lorsque l’axe curviligne change de position et passe d’une ligne de courbure à une autre.

Enfin, elle peut être considérée comme l'enveloppe générale de l’espace parcouru par une sphère mobile et variable de rayon, dont le centre parcourra successivement tous les points d’une même surface développable quelconque, et dont le rayon, constant lorsque le centre reste sur la même ligne de courbure de la surface développable, change de grandeur d’une manière quelconque, lorsque le centre passe d’une des lignes de courbure à une autre.

Chacune de ces cinq générations peut conduire directement à toutes les équations de la surface, tant intégrale qu'aux différences partielles de tous les ordres; mais elles ne le font pas avec la même facilité. Pour l'équation intégrale, c’est la dernière génération qui exige des considérations moins compliquées, et c’est elle que nous allons employer : ainsi nous regarderons la surface comme enveloppe générale de l'espace parcouru par une sphère mobile.

La surface développable parcourue par le centre de la sphère mobile peut être regardée en même temps et comme le lieu des tansentes de son arète de rebroussement, et comme le lieu des développements de cette arête; en sorte qu'un point est déterminé sur cette surface, lorsqu'on indique la tangente de l’arète de rebrousse-

ment et la développante de cette arête, à l'intersection desquelles il doit se trouver.

Cela posé, soient L'—="@z, FN:

les deux équations de l’arête de rebroussement de la surface développable parcourue par le centre de la sphère mobile; puis, considérant la tangente de cette arëête dans une position quelconque, soit « la valeur de z au point de contact : les trois coordonnées de ce

point de contact seront X — GX, y —=Ÿa, Zz — &.

Les deux équations de la tangente en x, y seront done

x—p—(z—x)Qu, Y—d—(z— a) Va.

La position de cette tangente sur la surface développable sera déterminée par la valeur de x; et si l’on élimine z entre les deux équations précédentes, on aura l'équation du lieu des tangentes, c’est-à-dire de la surface développable elle-même.

L'élément de l’arc de l’arête de rebroussement sera évidemment

da \ Fee Sie.

ou, en faisant, pour abréger, 1 + @°* + 4*—h°, l'expression de

cet élément sera hda.

et, par conséquent, la longueur de l'arc rectifié de l’arête de

rebroussement sera fhda.

Cette expression comprend implicitement une constante arbitraire qui dépend du point de l’arète par lequel commence sa rectification. Actuellement, si, pour obtenir le point d’une développante, on

OUI de

porte l'arc rectifié sur la tangente, à partir du point de contact et du côté de l'arc rectifié, l'amplitude de cet arc, dans le sens de cha-

cune des coordonnées x, y, z, sera

mn! = dans le sens des x, . fade;

Ye dans le sens des y, + fhda;

TL A dans le sens des x, ; fhdz;

et les coordonnées du point de la développante qu'on aura ainsi

déterminé seront

La position de ce point sur la tangente dépendra de la grandeur de la constante arbitraire comportée par le signe d'intégration ; mais si l’on suppose que cette constante conserve toujours la même valeur, les points déterminés pour les différentes valeurs de x, c'est-à-dire pour toutes les tangentes successives, seront tous sur la même développante de l’arête de rebroussement : en sorte que, si l’on complète l'intégrale de manière que sa valeur soit nulle lorsque + a une valeur déterminée, par exemple lorsque l’on à x = 0, le point sera sur la développante qui passe par l’intersection de l’arête de rebroussement avec le plan des x, y.

Prenant donc cette première développante comme une origine arbitraire à laquelle nous rapporterons toutes les autres, et considérant que chacune des autres développantes a tous ses points à égales distances de la première; si l’on suppose que pour l’une quelconque d’entre elles, cette distance soit exprimée par £, les

trois coordonnées d’un point quelconque de cette nouvelle déve-

loppante seront o’ ; x = 9 — fe (B + fhda),

TEASE 2 (B + fhda),

= x — 7 (B+ fhda).

Les valeurs de ces trois coordonnées sont donc celles d’un point déterminé sur la surface développable par les valeurs des deux quantités «, 8, dont la première indique la tangente de l’arête de rebroussement, dont la seconde indique la développante de cette arête, et qui, par leur intersection, déterminent ce point sur la surface. £

CAE

Il n’est peut-être pas inutile d'observer, en passant, 1° que les trois dernières équations appartenant au point général d’une surface développable, si l’on élimine entre elles les deux quantités z, GB, le résultat de l'élimination en x, y, z n’est autre chose que l'équation de la surface développable elle-même; 2° que si l’on élimine & seule, ce qui entraîne aussi l'élimination de fhdax, les deux équations résultantes

sont celles de la tangente dont la position est déterminée par la valeur de z; 3° enfin, que si l’on élimine x seule, ce qui ne peut s'effectuer tant que les fonctions ® et | sont regardées comme arbitraires, les deux équations résultantes sont celles de la développante de l’arête de rebroussement déterminée par la valeur de 8 qui reste dans les équations.

Considérons actuellement la sphère mobile, et représentons par

v', y’, z! les coordonnées de son centre ; comme ce centre est un point de la surface développable, on aura

er B + fhada), Y'=Ÿ— si (8 + fhda), 2'=a— 7 (8 + fhda).

D'ailleurs le rayon de la sphère étant constant lorsque son centre est sur une même développante de l’arète de rebroussement, et variable lorsque le centre passe d’une développante à une autre, ce rayon est donc constant et variable en même temps que £, et, par conséquent, fonction de B. De plus, la forme de cette fonction dépend uniquement de la nature de la génératrice plane, qui est arbitraire : ainsi le rayon de la sphère mobile est une fonction arbitraire

de 8 que nous représenterons par 76. Donc l’équation en x, y, z de la sphère mobile sera

(x— x) +(y—y} +(z— 3% — (7fp), ou, en remettant pour x’, y’, z’ leurs valeurs; Le —o+f Pate) | + fr ++ T(8+ Jde) = (76), +fa—a+r (8+ f'hda)|

que, pour abréger, nous représenterons par M — 0.

ee nee

Or, si l’on considère deux sphères consécutives dont les centres soient sur la même développante, la quantité £ aura la même valeur pour toutes deux; leurs équations ne différeront entre elles que par la valeur de + qui aura varié de l’une à l’autre. Elles se couperont dans un grand cercle dont la circonférence passera par le point de contact de l’enveloppée avec l’enveloppe générale, et la différentielle de M — 0, prise en regardant x comme seule variable, c’est-

dM Ne + aie

appartiendra à la circonférence de ce grand cercle.

à-dire

De mème, si l’on considère deux sphères consécutives dont les centres soient sur la même tangente à l’arête de rebroussement, les équations de ces deux sphères ne différeront entre elles que par la valeur de B qui aura varié de l’une à l’autre. Ces sphères se couperont dans un petit cercle dont la circonférence passera encore par le point de contact de l’enveloppée avec l’enveloppe générale ; et la différentielle de M — o, prise en ne faisant varier que B, c’est-

dM 5 t OR

appartiendra à la circonférence de ce petit cercle.

à-dire

Donc on aura pour le point de contact de la sphère mobile avec l'enveloppe générale, les trois équations

ME AM Fee dM ae (7 ) = 0:

mais le point de contact, en vertu des valeurs dont sont suscep-

dan ES

tibles les deux indéterminées x, B peut être transporté successivement sur tous les points de la surface engendrée, qui n’est autre chose que le lieu de tous les points qu’on peut obtenir en donnant successivement à « et à B, dans ces trois équations, toutes les valeurs possibles; donc le résultat de l'élimination des deux indéterminées « et 5, entre les trois équations précédentes, est, en x, y, z, l'équation intégrale de la surface engendrée.

Si des trois équations précédentes on ne considère que les deux

premières