X XIV
Supposons, au contraire, que dans les trois équations du point de contact de la sphère mobile avec l’enveloppe générale, ce soit 8 qui ait une valeur déterminée et invariable, tandis que « est à son tour susceptible de toutes les valeurs possibles; le centre de la sphère mobile ne pourra plus se mouvoir que sur une certaine développante individuelle de l’arête de rebroussement, développante qui sera déterminée par la valeur particulière de 8. Quelque valeur que l’on donne à x, le point de contact se trouvera sur la courbe de contact de l'enveloppe générale avec la surface du tuyau circulaire dont l’axe curviligne correspond à la valeur particulière de 8. Mais cette courbe de contact, lieu de ce point pour toutes les valeurs possibles de «, est la seconde caractéristique de l'enveloppe
générale: donc si, entre les trois équations
dM 7e HD) Sie
on élimine seulement la quantité x, les deux équations résultantes seront, en +, y, z, B, et sous forme intégrale, celles de la seconde caractéristique de la surface engendrée, équations dans lesquelles Ja valeur de £ déterminera la caractéristique individuelle.
XX V
Le raisonnement que nous venons de faire pour trouver les équations intégrales des caractéristiques est général, et peut être employé pour toute surface dont l’équation résulte de l'élimination de deux indéterminées x, £ entre trois équations dont les deux dernières sont les différentielles de la première, prise en regardant (pour l’une) et 8 (pour l’autre) comme seules variables; c’est-à-dire pour toute surface qui, dans son équation intégrale, est regardée comme enveloppe générale.
Mais, dans le cas présent, et pour la première caractéristique,
LA NAME : Faut 2 : LM l'opération devient beaucoup plus simple, car l'équation ee }#=0
est immédiatement é dh\ dh dh (x—@) (re"— Ta) pp) (ad J' Ta) a uo,
dans laquelle la qüantité 5 a naturellement disparu; en sorte que l'élimination de 8 est toute opérée : ainsi cette équation appartient purement à la première caractéristique. Or, pour une même valeur de x, c’est-à-dire pour une même caractéristique individuelle, cette équation est évidemment celle d’un plan; donc la première caractéristique est une courbe plane. D'ailleurs le plan passe par le pot de l’arête de rebroussement pour lequel on a
X —@—O, TN 0; Zz — X — O0.
De plus, il est facile de reconnaitre qu'il est tangent à cette arète,
et normal au plan osculateur de cette courbe; donc le plan de la première caractéristique passe par une tangente de l’arête de rebroussement, et est toujours normal à la surface développable, et, par conséquent, est toujours tangent à la surface développable, développée de celle- ei, etc. : propositions que nous avions trouvées précédemment par des considérations géométriques, et qui se déduisent analytiquement de l'équation intégrale obtenue par
d’autres considérations.
NX LVEE
Recherches des équations aux différences partielles du premier
ordre.
Le propre des équations aux différences partielles du premier ordre est d'exprimer les propriétés des surfaces par rapport à leurs plans tangents ou à leurs normales; il s'agit donc d'exprimer que toutes les normales sont tangentes à une même surface développable, ou que chacune d’elles est dans un plan tangent à une même surface développable.
En représentant par +, y, z les coordonnées du point de la surface, et si l’on représente par x”, y”, 3’ celles de la normale en
ce point, les équations de la normale sont
X' — x + p(z —z) — 0; Y—Y+q(z —z)—=0; or l'équation du plan tangent à une surface développable quelconque est z — x'be + Y'Wa' + 4",
dans laquelle la valeur de 2” détermine le plan tangent individuel,
et dans laquelle les formes des deux fonctions ® et Y sont inva-
riables, et la surface développable est toujours la même. 1 faut donc que les deux équations de la normale satisfassent à celle du plan; mais si l’on élimine entre ces trois équations deux quelconques des coordonnées x”, y”, 3”, la troisième disparaît aussi, et
l’on a pa + qYa' +1 —o,
équation qui doit avoir lieu pour tous les points de la surface. De plus, le point de la surface devant se trouver sur le plan tangent à la surface développable, on aura aussi
z = xba + YYa’ es
Donc une des équations aux différences partielles du premier ordre de la surface proposée est le résultat de l'élimination de l’indéterminée z’ entre les deux équations précédentes.
XX VII
On peut obtenir le même résultat par la considération du plan tangent, dont la propriété est évidemment d’être constamment perpendiculaire au plan générateur. En effet, le plan générateur étant toujours tangent à une même surface développable, a pour équation '
z = ta + YYa + à’;
de plus, l'équation du plan tangent est évidemment
z = px + qÿ + constante,
dans laquelle les quantités p, q et la constante sont fonctions des coordonnées du point de contact, constant pour chaque plan tangent. Or ces deux plans doivent être rectangulaires; donc il doit y avoir entre les coefficients de leurs équations la relation suivante :
pa’ + qYa +1—=o.
On a done pour tous les points d’une même sénératrice plane, dé-
terminée par la valeur particulière de «”, les deux équations z — xdDa” + YYa' = mi, O— pha + qe +1;
donc le résultat de l'élimination de +” entre les deux équations appartiendra au lieu général de la génératrice plane, c'est-à-dire à la
surface qu'elle engendre par son mouvement.
XX VIII
Si, dans les deux équations précédentes, on regarde x” comme constante, la seconde est celle d’une surface cylindrique à base quelconque, dont la droite génératrice est constamment perpendiculaire au plan qui a pour équation la premiere; or les quantités p et 4, qui entrent dans l’équation de la surface cylindrique, sont les mêmes que celles qui appartiennent à la surface engendrée : done la surface cylindrique touche la surface engendrée dans toute l’étendue de la caractéristique plane qui peut être considérée comme sa base; donc on peut la regarder comme l’enveloppée cylindrique de la surface engendrée : ce qui fournit la génération suivante.
Si l’on conçoit qu’une surface cylindrique quelconque, constante de base, se meuve de manière que, si on la considère dans deux positions consécutives, la courbe suivant laquelle les deux surfaces cylindriques se coupent soit toujours dans le plan parallèle à la base mobile, cette surface parcourra un espace dont l'enveloppe sera la surface que l’on considère.
Nous avons vu (art. IV) que si le lieu des centres d’une des courbures est une surface développable quelconque, l'équation du
lieu des centres de l’autre courbure est le résultat de l’élimmation de x entre les deux équations
z = xDa + Yda + a,
On DD Q Var "1:
Or nous venons de voir que cette même équation est celle de la surface engendrée par une courbe plane dont le plan roule sans glisser sur la même surface développable : la surface que nous considérons est donc telle, que le lieu des centres de la courbure, prise dans le sens de la génératrice plane, est une surface soumise à la mème génération qu'elle; ce que nous avions déjà trouvé par des considérations géométriques.
La quantité que nous représentons par &” dans l'équation aux différences partielles n’est pas la même que celle que nous avons exprimée par x dans l'intégrale; de même les fonctions arbitraires det Y ne sont pas les mêmes que les fonctions @ et + qui entrent dans l’intégrale: mais ces six quantités ont entre elles une relation qu'il est facile de trouver. En effet, l'équation
z = Ada’ + YYa' + «'
est celle du plan générateur pour lequel (art. X XV) nous avons trouvé une autre équation en «, @, À. Si l’on met cette dernière équation sous la forme précédente, on a
hg"da / hÿ"da / 44 (gg +ŸY7)da LH) (He png detre
Ces deux équations appartenant au même plan, il faut que leurs coefficients soient respectivement égaux; donc, en mettant pour
Lire hdh sa valeur (9/9” + J'\”)da, on aura les trois équations
Le PORT Pie TES QUE ED ETS NA go! + ÿ'Q/
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Da — — (} DE TA
h?d" Ya — — l d EL
Au reste, ces trois quantités «”, ®x’, Wa’ sont les coefficients du
plan qui touche l’arête de rebrousséement au point dont les coor-
données sont @x, du. «, et qui est perpendiculaire au plan qui ; JE |
oscule la courbe en ce point.
D'après cela, il est facile de vérifier que l'équation aux diftérences partielles du premier ordre que nous venons de trouver directement par les considérations géométriques, est la même qu’une de celles qu’on aurait obtenues en différentiant l’intéerale comprise
q ; Ï Ps . dM dM dans les trois équations M = 0, (—— }—0o, (-——) — 0; car, da dB
de l’article XXV, et de ce qui précède, il suit que l’équation
SEA) 2 t ] A AS — O est la meme que
z —;%0 & + YYa' UN
De plus, si l’on différentie M — 0, en regardant successivement +, ÿ comme seules variables, et en regardant x, £ comme con- < : À: a dM M CA stantes, ce à quoi on est autorisé en vertu de (a —=0;|—— }—e, æ } \ df£ on obtient deux autres équations qui, par l’élimination de £, et en vertu des valeurs précédentes, produisent
pa +qYa'+i—o,
comme nous l'avons déjà trouve.
Si l’on voulait traiter cette équation aux différences partielles du premier ordre pour l'intégrer, il faudrait d’abord chercher l’équation de la projection de sa caractéristique sur le plan des x, y, et l’on trouverait
da dy — Ya'dx = 0;
ce qui donnerait pour les projections de la même courbe sur les deux autres plans
Pa'dz + dx — 0,
Wa’dz + dy — 0,
équations dont deux quelconques comportent la troisième. Or ces équations sont évidemment celles d’une courbe perpétuellement normale au plan qui a pour équation
/ ; Re Gas Mae
et qui est mobile en vertu de la variation de x’; donc la caractéristique dont il s’agit ici est une trajectoire orthogonale du plan générateur : ce que nous savions déjà.
Si, des trois dernières équations, on tire les valeurs de &”, Da”,
Yz', on trouve / xdx + ydy + zdz = =
dz a = 7 RE 0 La dz
Done, si l’on établit que de ces trois quantités différentielles deux quelconques sont fonctions arbitraires de la troisième, on aura les
deux équations aux différences ordinaires de la caractéristique, qui
seront xdx + ydy + zdz ALES æ ( dz LE A1 Cp y FE + ydy + sr ie dy 50 dz dz XX AT
L'équation intégrale contenant les trois fonctions arbitraires ?, À, x doit être susceptible de trois équations aux différences partielles du premier ordre, dans chacune desquelles une des trois fonctions arbitraires ait disparu. Nous venons de trouver celle de ces trois équations qui est délivrée de la fonction 7; 1l resterait donc à trouver celles qui ne contiendraient que & et 7 pour l’une, et d et 7 pour l’autre. Ces deux équations sont de la nature de celles qu’on a coutume de regarder comme intégrales intermédiaires qui n'existent pas; elles existent néanmoins, mais on ne peut les obtenir que sous la forme d'équations aux différences mélées, ordinaires et partielles, celles-ci étant du premier ordre. Je ne pourrais être clair sans entrer dans des détails préliminaires trop étendus, et je réserve à en parler dans un Mémoire dont l’unique objet sera la théorie et la construction des surfaces exprimées par les équations aux différences mêlées, ordinaires et partielles, et dans lequel la surface dont nous nous occupons entrera
comme un exemple remarquable.
Recherche des équations aux différences partielles du second : ordre.
Les équations aux différences partielles du second ordre expriment les propriétés des surfaces, relatives ou à leurs lignes de cour-
re
bure ou à leurs rayons de courbure. Or la surface que nous considérons jouit, par rapport à ses courbures, de deux propriétés qui conviennent à toutes les surfaces individuelles de la même génération, et qui ne conviennent qu'à elles : la première est qu’une de ses lignes de courbure est constamment plane; la seconde est que, pour l’autre ligne de courbure, le rayon de la première courbure est constant. Donc, pour trouver les équations aux différences partielles du second ordre, il faut exprimer ces deux propriétés. Occupons-nous d’abord de la première.
Un plan ne peut convenir à toutes les lignes successives d’une même courbure, à moins qu'il ne soit mobile en vertu de la variation d’un seul de ses paramètres, ou que son équation ne soit de
cette forme, 2 UC) MX,
dans laquelle x est constante pour chacune des lignes de courbure plane, et variable d’une de ces lignes à la suivante. De plus, ce plan devant contenir toutes les normales à la surface qui passent par les points de la ligne de courbure, on doit avoir l'équation
px + qgWa + I = O0.
Actuellement l'équation générale des lignes de courbure est, comme q ;
on sait,
(dx + pdz) dq = (dy + qdz) dp.
Pour que cette courbe soit dans le plan, il faut que la valeur de ae dx
produite par son équation, soit égale à celle que donne l'équation du plan, différentiée en regardant x comme constante, c’est-à-dire P ,
un: ” Pa — : er soit égale a nn ©: - Faisant cette substitution, on trouve
(Va — q)(rDa + SsYa) = (Da — p) (sDa + {Ya).
On a donc entre les trois quantités x, dx, Wa trois équations des-
quelles il est facile de tirer les valeurs, et entre lesquelles on peut, par conséquent, éliminer l’indéterminée x.
En faisant, pour abréger,
et
(+ q}r— opgs + (pe) Va + gr —2pgs + pe 4 (rs) = ov, on trouve pour les quantités x, Dx, Wa les valeurs suivantes : x(ps +qt—qN)—y(pr + gs —p\)
pqr + (q°—p°)s— pqt |
EN al LE .
PTE (GRERpA EEE TE
pr + gs — p\ pr +\(q#=>pi)s=pat
Ta Donc, en éliminant z, on a pour la surface les deux équations aux
différences partielles du second ordre
ps “ qt mL: 0 É Le x(ps+qt—qV)—y(pr+qs —pV | pqr+(p°—q")s— pqt pr +(q"—p"})s —pqt
DRE 2) pr +(q*—p*)s —pqt pgr +(q° — p'}s — pat ;
dont chacune contient encore une des deux fonctions arbitraires d, W, et est, par conséquent, aussi générale que l'intégrale finie, qui en contient trois.
Les deux équations que nous venons de trouver d'après la propriété que la ligne de courbure a d’être plane, auraient pu être obtenues par la différentiation partielle de celle du premier ordre. Nous avons vu, en effet (art. XXVI), que celle-ci est le résultat
de l'élimination de z' entre les deux équations Zz—Xba + YWa + a, O— pDa' + qYa +1.
Or, si l’on différentie partiellement ces deux équations, et si l’on fait da’ — p'dx + g'dy, on a | Ya — q = Mp, Ya’ — p — Mg, rDa + sYa — Np’, sDa’ + tYa’— Ngq’, dans lesquelles il est inutile de développer les valeurs de M, N qui contiennent ®’ et W’. Retranchant le produit des deux moyennes du produit des deux extrèmes, les quantités M, N, p”, q' disparaissent toutes quatre, et l’on a (La — qj(rba + sYa’) = (Da — p)(sba + tx’);
ce qui donne, entre les trois quantités 4”, Da’, Vx’, les mêmes équations que, dans l’article précédent, nous avons trouvées entre . a, ba, Va, et qui, par l'élimination de z”, produisent les mêmes équations aux différences partielles secondes.
Le radical que contient la quantité V est celui qui entre dans l'expression du rayon de courbure : si donc on prend sa valeur dans cette expression, pour la substituer dans celle de V, en nommant R le rayon de courbure, on aura
V=(i+g)r — 2pqs + (1 + p')t+ AGE &
=PP00e—
et employant pour V cette valeur, au lieu d’une abréviation qui a quelque chose de capricieux, on en aura une autre qui emploie le rayon de courbure. Faisant donc cette substitution, les valeurs de 2, Dax, Va deviennent
R[x(gr—ps)+y(gs—pt)]+(gx—pr)ttsiR k[pgr +(q*—p°)s —pqt]
k(gr—ps)+ q(rt—s? JR
kEpgr +(q°—p°)s— pat]
K(gs—pt)—prt—s*)R.
k[pgr+(g°—p*}s—pqtl?
A —Z— DPX — YY +
Pa —p—
Va q—
et mettant pour + sa valeur dans les deux autres équations, on aura les deux équations aux différences partielles du second ordre.
Il est nécessaire de remarquer ici que le rayon R qui entre dans ces équations est celui de la courbe plane.
XXX VI
On aurait pu se contenter d'employer une seule des trois équations 3 — COLE,
O— pda + qWa + I,
(Pa — q) (rDa + SYa) — (Da — p) (sba + Wa),
pour chasser des deux autres l’une des deux fonctions arbitraires; et alors les deux équations aux différences partielles du second
ordre auraient été, l’une le résultat de l'élimination de x entre les deux équations
2 = aa — y TR + d,
(1+ q° + pda) [gr ba — s(1 + pda)| + (Da — p) [gs®a — 4 (1 + p&a)]
et l’autre le résultat de l’élimination de x entre les deux suivantes :
O— p(Ya— q)[r(1 + qYa) — psYa] + (+ pt + qVa) fs (1 + ga) — ptVa];
d’où l’on voit que si les fonctions ® et Y étaient déterminées et connues, ces deux différentielles secondes seraient linéaires en r,$,t: ce qui prouve que la surface à laquelle elles appartiennent peut être engendrée par une courbe déterminée, qui est ici la génératrice plane, et qu’il n’est pas nécessaire de la considérer comme une enveloppe.
XXX VII
S'il s'agissait d'intégrer l’une ou l’autre de ces équations sous la forme que nous venons de leur donner, et à laquelle on peut toujours les ramener en égalant à « la quantité qui est sous les fonctions arbitraires, il faudrait d’abord chercher les équations de la caractéristique; or on sait que si la différentielle de la proposée, prise en regardant r, s, { comme seule variable, est
Rar-PSds= Tdi — 0;
l’équation de la projection de la caractéristique sur le plan des x, y est
Rdy* — Sdxdy + Tdx* — En opérant donc sur la première, on trouve pour la caractéristique d(g + 1+pba)qoa 1 + dxdy{(q® +1 + pda)(1 + pDa) — q*Ha(bax— p)|} —0,
— dx°q(i + pba) (Pa — p) |
mn 6.0
équation qui a deux facteurs rationnels, et qui produit les deux
équations (g® +1 + pda)dy — q(ba— p)dx = 0, qg®ady + (1 + pda) dx = 0.
On peut conclure de là : 1° que la surface a deux caractéristiques indépendantes, et dont l’une quelconque peut changer, tandis que l’autre reste la même; 2° que les fonctions arbitraires qui completent les intégrales premières et finies sont composées de deux quantités différentes pour l’une et pour l’autre.
L’équation de la première caractéristique peut facilement être
mise sous la forme
di = DEEE
et l'équation arbitraire de la proposée est
1+pha q
z = XDX — YF + a.
Or, de ces deux équations, la première est la différentielle de la seconde, prise en regardant « comme constante, et toutes deux ont lieu pour la première caractéristique : donc, pour cette caractéristique, la quantité + est constante, ainsi que les deux coefficients de l'équation
donc le coefficient de dy doit être une fonction arbitraire de x: et si l’on représente cette nouvelle fonction par Yx«, on aura
