XXX VIII

Nous avons déjà dit que la surface engendrée jouissait, par rapport à ses courbures, d’une autre propriété générale qui pouvait servir à en donner une définition complète; cette propriété est que, pour tous les points d’une même ligne de la seconde courbure, le rayon de la première courbure est constant. En effet, chacun des points de la génératrice plane engendre une des lignes de la seconde courbure; or cette génératrice est constante de forme : done, pour le même point générateur, le rayon de courbure de la génératrice, c’est-à-dire le rayon de la courbure plane de la surface, est constant.

La ligne de la seconde courbure étant toujours normale au plan générateur, les équations différentielles de ses projections sur les

Hé

trois plans rectangulaires sont

Da dy — Yadx = 0, Dadz + dx — 0,

Ya dz + dy = 0.

Donc la surface est telle, que si le point de la génératrice plane ne change pas, c’est-à-dire que si l’une des trois équations précédentes a lieu, par exemple

Da dy — Yadx = 0,

le rayon de courbure R de la génératrice plane ne change pas. II faut donc que l’on ait

Dady — Yadx —NURAR.

Si, dans cette équation, on met pour dx et Ya les valeurs que nous avons trouvées art. XXX V, et qui contiennent la même quantité R, on aura une équation aux différences mêlées, ordinaires et partielles, qui seule exprimera toutes les surfaces soumises à la génération dont nous nous sommes occupés. Cette équation est aux différences partielles du second ordre, puisqu'elle contient les quantités r, s, t, R; elle est délivrée des deux fonctions arbitraires ®, Ÿ, qui dépendent de la nature de la surface développable sur laquelle roule le plan générateur, et elle ne contient que la fonction II, qui dépend de la nature de la génératrice plane; elle est, de plus, aux différences ordinaires : elle est donc la différentielle ordinaire de la troisième équation aux différences partielles du second ordre, équation qu'elle peut suppléer, soit pour descendre de l’intégrale finie à l'équation aux différences partielles du troisième ordre, soit pour remonter de celle-ci à l'intégrale finie.

LRO

L'équation aux différences mêlées que nous venons de trouver est la même que celle qu’on aurait obtenue si l’on avait d’abord différentié l'équation intégrale de l’art. XX aux différences partielles du second ordre; ce qui n'aurait pas suffi pour éliminer l’indéterminée x et les fonctions ? et +, ainsi que toutes leurs dérivées. Il eût fallu, pour cela, différentier ensuite une fois aux différences ordinaires, ce qui aurait introduit le mélange des différences ordinaires et partielles; et alors l’équation résultante eut encore différé de celle que nous venons de trouver, parce que les quantités 8 et 118 qu’elle renferme ne sont pas ‘respectivement les mêmes que R et ITR: mais il est facile de ramener l’une de ces équations à l’autre, en observant, ce qui est évident, que la quantité que nous avons exprimée par [TB dans l’intégrale est précisément celle que, dans l’équation aux différences mêlées, nous représenterons par R.

Recherches de l'équation aux différences partielles du troisième

; ordre.

Nous avons vu que, pour tous les points de la même ligne d’une courbure, le rayon de l’autre courbure est constant. Or on sait que l'expression du rayon de courbure et l'équation de la ligne de courbure sont

Lo hbhiER j Ms st +gi)t—2pqs (1 +p?)t]+V{(1 + gt)r —2pgs+ (1 +p 4 (rt 5),

do (+p}t—(i+ gr VQ+ gr — 2pgs + (+ pt)e} — Are — 5?) Te AR PAT ET EE BONE TENTE © 7,

dx 2((1+ g°)s — pgt]

équations dans lesquelles le radical, qui est le même, a des signes

différents, s’il s’agit de la ligne et du rayon de la même courbure; mais, si l’on veut comparer le rayon d’une des courbures avec la ligne de l’autre, comme dans le cas présent, il faut que les signes du radical soient les mêmes pour l’un et pour l’autre.

Notre surface est donc telle, qu’en donnant à — 7 la valeur qui

convient à la seconde courbure, c’est-à-dire en faisant

dy (iæ+pt}t—(i1+q)r+ VG+ gr — 2pgs + (1+ pt} — 4k(rt — 5?)

FPS 2[(1+ g°)s — pat]

où le signe du radical est le même que dans la valeur de R, on ait

R — constante; par conséquent

ARE 0 OU di dx + dR AN EN A7 dy +

Faisant cette substitution, et effectuant les différentiations partielles de R, on aura l’équation aux différences partielles du troisième ordre.

Cette équation du troisième ordre, que nous venons de trouver directement par les considérations géométriques, pouvait être obtenue par la différentiation de chacune des trois équations du second ordre. Commençons d’abord par l'équation aux différences mêlées

Pa dy — Yadx —TMRAR, qui, étant regardée comme une différentielle ordinaire totale, donne pour différentielles partielles

1R —Ve=rR(T );

IR be —NR (T) dy

Pt.

En éliminant la fonction, on a l’équation

dR dR LE) 0

qui, si l’on effectue les différentiations partielles de R, et si lon substitue pour «x et Ya leurs valeurs trouvées, ou dans l’article XX XIII, ou dans l’art. XX X V, produira la même équation

aux différences partielles du troisième ordre.

XLIT.

Enfin, c'est encore la même équation qu’on obtient par la differentiation de l’une quelconque des deux autres équations du second ordre, et qui sont chacune le résultat de l'élimination de l’une des deux fonctions arbitraires dx, Yx, entre les trois équations

Po PE D 0 = pha + qVa + 1 (Ya — q) (rDa + SYa) = (Da — p) (sDa + 1Wa).

C’est cette équation que nous allons effectuer, parce qu’elle présente des formes plus simples. Soient

dr = udx + wdy, ds —wudx + wdy, dt — wdx + vdry, da p'dx + q'dy.

En différentiant partiellement l'équation en r, s, t, on trouve

(Fa — p) (Da + Pa) — (Pa — p)(wuPa + wŸa) + (rt —s?)Fa — Lp', (Pa — q) (ba + wDa) — (Da — p) (wDa + v Fa) — (ré — 5? Pa — La:

mais, en différentiant partiellement l'équation en «, y, z, on a

Da — p — Mp, Ya — q — Mg,

dans lesquelles il est inutile de développer les valeurs de L et de M. De ces quatre équations, si l’on multiplie l’une par l’autre les deux extrêmes, et l’une par l’autre les deux moyennes, et si l’on retranche l’une de l’autre ces deux produits, les quantités p”, g”, L et M disparaissent à la fois, et l’on a

(Da — q) (uba+ ua) —92(Va—q)(ba—p) (wuDa+wYa) nr" Le ENT + (Da—p) (wDa+vYa) +(rt—s")(1+Dx +Wa)

équation dans laquelle il n’y a plus qu’à substituer pour dx et Wx leurs valeurs en différences partielles du second ordre, que nous avons trouvées art. XX XIII ou XX XV, et l’on aura l'équation aux différences partielles du troisième ordre, qui exprime généralement la surface que nous considérons, indépendamment de toute fonction arbitraire. |

Cette équation, comme on voit, est linéaire en w, «4, w, v.

J'en resterai là par rapport à cette surface, sur laquelle je me propose de revenir, comme exemple, lorsque je traiterai de la construction et de l’intégration aux différences mêlées, ordinaires et partielles; mais elle a quelques rapports avec une autre surface dont je ne crois pas qu'il faille la séparer, et dont je vais m'occuper dans le paragraphe suivant.

$ XX VI

SUR LA SURFACE COURBE QUI ENVELOPPE L'ESPACE PARCOURU PAR UNE SPHÈRE VARIABLE DE RAYON, ET DONT LE CENTRE PARCOURT UNE COURBE A DOUBLE COURBURE QUELCONQUE.

Si l’on suppose qu'une sphère variable de rayon se meuve de manière que son centre parcoure une courbe à double courbure quelconque, et que la grandeur de son rayon dépende de la position du centre, cette surface parcourra un espace dont l'enveloppe est la surface dont nous allons nous occuper. Je pourrais citer plusieurs exemples de surfaces soumises à cette génération, dont une des plus remarquables est celle de la colonne torse, qui n’est autre chose que l'enveloppe de l’espace parcouru par une sphère variable de rayon, et dont le centre parcourt une hélice de vis dont l’axe est vertical.