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Le centre de la sphère mobile étant assujetti à être sur une courbe à double courbure , Ses trois coordonnées ont entre elles les deux relations exprimées par les deux équations de la courbe : ainsi deux d’entre elles sont fonctions de la troisième; mais le rayon qui dépend aussi de la position du centre doit être de même une fonction de l’ordonnée principale : donc le rayon et les trois coordonnées du centre sont tels, que trois de ces quantités sont fonctions de la quatrième. Prenant donc le rayon lui-même pour quantité principale, et en la représentant par «, les trois coordonnées du centre seront des fonctions de x, et ces fonctions seront arbitraires. Ainsi, pour une valeur du rayon égale à x, l'équation de la surface de la sphère

Se PAT RES mobile, considérée comme enveloppe, sera

(e— qu) + (y — da) + (2— ra) = a, dans laquelle les trois fonctions ®, 4, 7 sont arbitraires.

Pour avoir une équation de la caractéristique, c’est-à-dire de l'intersection de deux sphères consécutives, il faut différentier l'équation de la sphère, en regardant + comme seule variable; ce qui donne

(x —p)p +(r—d)V+(z—7)r'+azo.

Mais la caractéristique, à laquelle appartiennent les deux équations précédentes, peut être regardée comme la génératrice de la surface enveloppe, en regardant cette courbe comme mobile dans l’espace en vertu de la variation de «. Ou, ce qui revient au même, l’enveloppe n’est autre chose que le lieu de toutes les caractéristiques individuelles qu’on obtiendrait en donnant à « successivement toutes les valeurs possibles : donc l'équation intégrale de l'enveloppe n’est autre chose que le résultat de l’élimination de x entre les deux équations précédentes; opération qui ne peut s'effectuer que lorsque les formes des trois fonctions ©, À, 7 sont déterminées.