EME

L'équation intégrale de la caractéristique que nous venons de trouver est évidemment, en x, y, z, celle d’un plan: donc cette courbe est l'intersection de la surface de la sphère mobile par un plan aussi mobile, et est, par conséquent, la circonférence d’un cercle; mais ce plan ne passe pas par le centre de la sphère, puisque, indépendamment des trois termes qui contiennent x — 9, Y—detz—7, l'équation a un quatrième terme « : donc ce cercle n'est point un grand cercle de la sphère; donc son plan n’est

normal à l'enveloppe en aucun point de la caractéristique, et ne contient aucune des normales de la surface.

AE

Si l’on considère la suite des caractéristiques dont la surface est le lieu, il est facile de reconnaître que deux quelconques d’entre elles, prises consécutivement, se rencontrent en deux points qui sont sur la droite d’intersection de leurs plans. Le lieu de tous les points ainsi déterminés est sur la surface une courbe à double courbure qui a deux branches, et qui est touchée dans chacune de ses branches par chaque caractéristique. Cette courbe est une ligne singulière de la surface; c’est une arête de rebroussement, suite nécessaire de la génération.

Chacun des points de l’arête de rebroussement étant à l’intersection de deux caractéristiques consécutives, les coordonnées +, y, 4 de ce point sont celles de la caractéristique qui ne changent pas lorsque, dans ces équations, « change et devient & + da: on aura donc une équation relative à ce point, si l’on différentie les équations de la caractéristique, en regardant æ, y, z comme constantes, et « comme seule variable ; ce qui donne la troisième

équation mo) ot (A) (a rt 5 — = 0,

Pour un + déterminé, les trois équations donnent les valeurs des coordonnées +, y, z du point correspondant de l’arête de rebroussement; et cette arête elle-même est le lieu de tous les points qu’on obtiendrait ainsi en donnant successivement à & toutes les valeurs possibles.

Donc les équations intégrales de l’arête de rebroussement sont le résultat de l'élimination de + entre les trois équations précédentes.

Les valeurs de x, y, z, que produisent les trois équations précédentes, contiennent toutes le même radical. Si les quantités «, +, 4, 7 ont entre elles une relation telle, que la valeur de ce radical commun soit nulle, deux caractéristiques quelconques ne se coupent plus en deux points; elles n’ont qu’un seul point de commun, et ce point est un point de contact. Les deux branches de la courbe touchée par toutes les caractéristiques se confondent en une seule; et cette courbe, sans cesser d’être une ligne singulière de la surface, n’est plus une arête de rebroussement, elle est une ligne de striction.

Il est facile de trouver qu’en faisant, pour abréger,

= p'° Eu J"° — 7"? — }?,

l’équation qui établit la relation que doivent avoir entre elles les

quatre quantités , ®, À, #, pour que le radical s’évanouisse, est [a ('p"+ \/ rm) he Ph e (9 + N° + 77) — h"] ro

Cette relation est destinée à chasser une des trois fonctions 9, 4, 7. Pour ce cas particulier, l'équation intégrale ne doit donc renfermer que deux des trois fonctions &, 4, 7, et son équation aux différences partielles, délivrée de toute fonction arbitraire, ne doit donc ètre que du second ordre. Mais l’équation en «, 9, À, 7, que nous venons de trouver, n’est pas algébrique; elle est aux différences ordinaires du second ordre: on ne peut donc, par son moyen, éliminer une des trois fonctions arbitraires et ses deux dérivées, à moins qu'on ne différentie aux différences ordinaires les autres équations qui appartiennent à la surface. L’équation différentielle de ce cas particulier doit donc être aux différences mêlées, ordinaires et partielles. Je reviendrai sur cette surface, et je la traiterai

pra

dans le plus grand détail, lorsque 1e l’emploierai comme exemple 5 : que ] P dans le Mémoire que je donnerai sur les équations aux différences

mélées.