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Lorsqu'une surface est du premier ordre, ou, pour mieux dire, lorsque l’équation de son enveloppée ne contient qu’une seule fonction arbitraire de x, son arête de rebroussement est toujours susceptible d’être exprimée par une seule équation aux différences ordinaires, délivrée de « et de la fonction. En effet, soit M — o l’équation de l’enveloppée qui ne soit composée que de x, y, z, x, ox; les équations intégrales de l’arète de rebroussement seront

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On pourra donc différentier les deux premières, en regardant «

comme constante; ces deux premières, et leurs différentielles ordinaires, ne contiendront, par rapport à «, que «, x, g'a: on pourra donc toujours éliminer ces trois quantités entre les quatre équations, et l'équation aux différences ordinaires résultante exprimera, en général, les arêtes de rebroussement de toutes les surfaces soumises à la même génération, et renfermera, comme cas particuliers, toutes les caractéristiques de ces surfaces.

Dans les surfaces d'ordres supérieurs, comme celle que nous traitons, et dont l’équation de l’enveloppée contient plus d’une fonction arbitraire de x, quelque loin que l’on pousse les différentiations ordinaires, il est, en général, impossible d'éliminer toutes les fonctions, parce que chaque différentiation introduit des dérivées nouvelles; et l’on ne peut avoir, pour l’arête de rebroussement,

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une équation délivrée de x et de toutes ses fonctions, qu'aux diffé-

rences mêlées, ordinaires et finies. Cela tient à ce que, dans notre cas par exemple, pour qu’un point appartienne à une arête de rebroussement, il ne suffit pas que chacun de ses points soit déterminé par l'intersection de deux circonférences de cercles consécutifs et variables de rayon; car si l’on faisait mouvoir un cercle variable de rayon de manière qu’il fût perpétuellement tangent à une même courbe donnée, sa circonférence n’engendrerait pas la surface dont nous nous occupons. Il faut que les circonférences des deux cercles consécutifs se coupent en deux points, et que ces deux points soient sur les deux branches de l’arête de rebroussement. Dans l'équation différentielle de cette arête, on est donc obligé de considérer en même temps deux points placés à une distance finie; ce qui introduit nécessairement les différences finies. Dans un Mémoire où je m'occuperai de la construction des équations aux différences mêlées, ordinaires et finies, l’arête de rebroussement dont 1 s’agit ici entrera naturellement comme exemple.

Pour trouver directement les équations de la surface aux différences partielles du premier ordre, il faut exprimer une propriété générale du plan tangent ou de la normale : or la surface a évidemment cette propriété, que si, par un quelconque de ses points, on lui mène une normale, cette droite, qui sera aussi normale à la sphère enveloppée que la surface touche en ce point, passera par le centre de la sphère. Or, en nommant x”, y”, z’ les coordonnées du point variable de la normale, les deux équations de cette droite sont, Comme on sait,

va Er + p(z— 2) —

v'—y+ qg(z2— :) —

Le

la normale devant passer par le centre de la sphère dont les coordonnées sont @x, dx, a, ces deux équations doivent donc avoir ieu pour la surface, en n ; x”, y’, z/, les valeurs reslieu p | face, en mettant, pour æ , y ,z, 1

pectives ®, À, 7: donc on aura Z—P+p(z—7) —0, J—N+gq(z—7r)=0o.

Tirant de ces deux équations et de celle de la sphère les valeurs de x, Y, 3, et faisant, pour abréger, DD qi ke on aura les trois équations (x — p)k + ap — 0, (y —d)# + ag =, (z—7)k— x — 0, qui comprennent les trois équations aux différences partielles du premier ordre de la surface; c’est-à-dire que, si l’on prend ces trois équations deux à deux, ce qui se peut faire de trois manières différentes, le résultat de l’élimination de x, entre chacun de ces trois systèmes, sera une des trois équations différentielles du premier ordre. Ainsi ces trois équations sont, la première, le résultat de l'élimination de x entre les deux équations (x — @)k + ap — 0, (NET q

la seconde, le résultat de l'élimination de x entre les deux suivantes :

et la troisième, le résultat de l'élimination de + entre les deux autres :

(z PT 7) À — &X — O,

(x — @)k + ap = 0,

où l’on voit que chacune de ces trois différentielles est délivrée d’une des trois fonctions arbitraires ®, 4, 7.

NITT

Puisque toutes les normales à la surface, menées par les points de la génératrice considérée dans une position fixe, passent par le même point, qui est le centre de la sphère correspondante, la génératrice est telle, que les normales qui passent par deux de ses points consécutifs sont dans un même plan; elle est donc la ligne d’une des courbures de la surface. Il y a donc entre la surface que nous considérons ici, et celle qui fait l’objet du paragraphe précédent, cette analogie, que dans l’une et l’autre, la ligne d’une des courbures est plane; mais il y a cette différence, que dans la surface précédente le plan de cette ligne de courbure contient toutes les normales qui passent par ses différents points, tandis que dans celle-ci le plan n'en contient aucune. Le lieu des normales qui passent par la même ligne plane de courbure est la surface d’un cône à base circulaire, dont le sommet est au centre de la sphère, et dont la base est dans le plan de la ligne de courbure.

EX

Pour tous les points de la même ligne de courbure plane, le centre de cette même courbure n’est autre chose que le centre de la sphère enveloppée : donc, dans la surface que nous considérons, le lieu des centres d’une des courbures cesse d’être une surface

courbe; il se réduit à une ligne courbe, qui est celle que parcourt

le centre de la sphère mobile, comme cela arrive aux surfaces de révolution, qui en sont des cas particuliers.

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D’après cela, il est facile de trouver, par des considérations géométriques, les trois équations aux différences partielles du second ordre; car il évident que, pour tous les points de la ligne plane de courbure, le rayon de cette courbure est constant et égal au rayon de la sphère enveloppée, que nous avons représenté par «. Or l'expression générale du rayon de courbure est donnée en R par l'équation

R°(rt—s*)+RA[(1 + g)r — 2pqs + (1+p°)t|+Æ'—o; donc, tirant de cette équation la valeur de R, et la substituant pour

dans les trois équations aux différences premières, les trois équations aux différences partielles secondes seront

(x — @R) 4 + pR—o, (7 — ŸR)# + qgR—o, (z—7R)4 — KR —0o,

équations qui sont séparées, et dont chacune ne contient plus qu'une fonction arbitraire.

Ces équations sont les mêmes que celles qu'on aurait obtenues en différentiant partiellement les trois équations aux différences premières.

Les équations aux différences partielles du troisième ordre expriment les propriétés des surfaces courbes, relatives aux variations de leurs lignes de courbure ou de leurs rayons de courbure : or, par rapport à ces variations, la surface que nous considérons jouit évi-

go —

demment de cette propriété, que, pour tous les points de la ligne plane de courbure, le rayon de cette même courbure est constant ; ce qui établit une opposition entre cette surface et celle du parasraphe précédent, dans laquelle le rayon de la courbure plane est constant pour tous les points d’une même ligne de l’autre courbure.

Si donc on représente par Adx + Bdy — o

l'équation générale de la ligne de courbure que nous avons donnée art. XL du paragraphe précédent, et dans laquelle le signe du radical doit être différent de celui qui entre dans l'expression du rayon de courbure R, afin que le rayon et la courbe appartiennent \ À . « dy

à la même courbure, il faut qu’en donnant à . la valeur qu'elle a dans cette équation, le rayon de courbure soit constant, ou que l’on ait