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ou enfin / dR dR° (a jé + (7 Des < On aura donc, pour tous les points de notre surface, d Es ( dk B( dx A TS Si l’on effectue les différentiations partielles mdiquées dans cette
équation, on aura l'équation unique aux différences partielles du troisième ordre de la surface.
Pour effectuer les différentiations partielles de l’article précédent, et arriver à un résultat mieux ordonné, je reprends, dès l’origine, la recherche des lignes et des rayons de courbure.
KES 379 SA Les équations de la normale, en x”, y”, z' sont, comme on sait, x'—x+p(z —7)—0, Y'—Y+gq(z — 2) — 0.
Si l’on considère deux normales consécutives, telles qu’elles soient dans un même plan, ou qu'elles se coupent, il faut différentier ces deux équations, en regardant x”, y”, z° comme constantes; ce qui donne
dx[i+p*—(z"—32)r] + dy| pq — (3 —2)s| — 0, dx [pq —(z"—2)s| + dy [1+q° — (3 — 3)t] —o,
dy ; . à ; dans lesquelles la valeur de est celle qui convient à la ligne de
courbure par laquelle passent les deux normales consécutives, et dans les quatre équations, les coordonnées x”, y”, z’ sont celles du point de rencontre des deux normales, et, par conséquent, du centre de la courbure : on aura donc
e Pharr CT ou
substituant cette valeur de z°— z dans les deux équations différen-
tielles, elles deviendront PMR Rr | Rs du(: + p° — &) + dy (pq ue +) 10:
dx( pq— +) + dy (: + q° — +) — 0.
Actuellement, soit fait, pour abréger, Rr— (1+p')k = A, Rs — pq k — B, Ré—(1+g')kz= CG;
l'équation de la projection de la ligne de courbure sera, mdifféremment, l’une des deux suivantes :
Adx + Bdy — 0, Bdx + Cdy — GE
dy entre lesquelles éliminant on aura, pour l’ équation qui donne
dx ?
la valeur du rayon de la même courbure,
C’est cette équation qu'il faut différentier partiellement pour
dR dr avoir les valeurs de (° ee à É }:
La différentielle ordinaire de l'équation AC — B°— o est CdA — 2BdB + AdC = 0, ou, en mettant pour dA, dB, dC leurs valeurs, dd (Cr — 2Bs + At) + R (Car — 2Bds + Adt) — 2k | Cpdp — B(pdg + qdp) + Agdq | — 0, RAR (ip?) CEE 78 EE Donc, si l’on fait dr = udx + wudy, ds — wudx + wdy, dt — wdx + vdy, les deux différences partielles de cette équation sont
AR US À (&) (Cr — 2Bs + At) +R (Cu — 2 Bu + Aw) — 2k[Cpr—B(qgr+ ps) + Ags| Dre gs
[+ p?)C— 2pq9B+(1+q°)A]=0, dR\ ,, * | T) (Cr — 2Bs + At) + R (Gui — 2 Bw+ Av) —2k[Cps—B(gs+pt)+Agt]
REG +p?)C—pqB+(1+q°)A]=o.
nl —
‘dR IR Pour substituer ces valeurs de tie ) dans dx dy
(dR dR BD) A (Se) —0 il faut multiplier la première par B, la seconde par A, et retrancher; ce qui donne, pour l’équation aux différences partielles du troisième ordre,
( BCu — 2 B°?140 + ABw
Po Al CNED A Al AC 53 APw A) 2k(Bp — Ag) (CG s + At) ji
B(pr+qs)— A (ps + qt) /:
DE POS pqB= (19?) ce)
Mais des trois termes dont cette équation est composée, le second est le double du troisième. En effet, si dans les équations qui donnent les valeurs de À, B, C, on prend celles de 1+ p°, pq, 1+q°: pour les substituer dans le dernier facteur du troisième terme, on trouve, à cause de AC — B° — 0,
| k | | l AUS a ATUE (+ p°)(G—2Bpq + (i+g")A = + (Cr — 2Bs+ At),
et, prenant dans les mêmes équations pour r, s,t leurs valeurs pour
les substituer dans le premier facteur du même terme, on trouve
B(pr +qs) — A(ps + qt) k
k° — (Bp — Ag) F > donc le troisième terme de l'équation aux différences partielles du troisième ordre sera — k(Bp — Ag) (Cr — 2Bs + At),
et, par conséquent, la moitié du second terme: donc, réduisant et chassant C au moyen de AC — B° — o, cette équation sera
R (B'u — 3B*Auw + 3 BA*w — Av) — 3k(Bp — Ag) (B°r — 2ABs + A°+)
dans laquelle il n’y a plus qu’à substituer pour À et B leurs valeurs, qui sont en différences partielles du second ordre.
XIVe
S'il s'agissait d'intégrer cette équation, sa simplicité rendrait l'opération très-facile. En effet, l'équation de la projection de la
caractéristique est B’dy* + 3B*Ady*dx + 3BA*dy dx° + A‘dx° —0, qui est un cube parfait, et dont la racine est, indifféremment,
Bdy + Adx — 0, ou »
Cdy + Bdx — 0, à cause de AC — B* — o ; ce qui prouve que la surface n’a qu'une seule caractéristique, et que la quantité qui doit entrer sous les trois fonctions arbitraires qui complètent son intégrale finie, est la même. Remettant dans ces équations, pour À, B, C, leurs valeurs, elles deviennent (Rs — pqk) dy + [Rr — (1+p°)4k] dx = 0, [Ré — (1 + q*)k] dy + (Rs — pqk) dx — 0, où Rdp — k (dx + pdz) = 0, Rdq — k (dy + qdz) = 0, entre lesquelles, si l’on élimine la quantité R, on trouve pour la caractéristique,
(dy + qdz) dp = (dx + pdz) dq,
qui est l'équation générale de la ligne de courbure ; donc la caractéristique est une des lignes de courbure de la surface.
Si, des deux équations Rap — k (dx + pdz) — 0, Rdg — k (dy + qgdz) = 0,
et de
dz — pdx — qdy = 0,
on tire les valeurs de dx, dy, dz, on trouve
dx = RdF, FR q dz — —Rd;;
équations qui, en regardant R comme constante, sont des différentielles exactes. Or ces trois équations ont lieu pour la caractéristique: donc, pour tous les points de cette courbe, la quantité R est constante; donc, en intégrant ces trois équations, et les complétant chacune par une fonction arbitraire de la quantité R, qui a été regardée comme constante, on aura, pour la surface courbe, les trois équations premières séparées
dans lesquelles il faut mettre, pour R, la valeur du rayon de courbure en différences partielles du second ordre.
La quantité R étant la seule, dans ces équations, qui contienne des différences partielles du second ordre, il est évident que, si l’on
