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éliminait R entre deux quelconques de ces équations, le résultat ne renfermerait plus que des différences partielles du premier ordre, et contiendrait deux des fonctions arbitraires; ce résultat serait donc une des intégrales secondes. L’élimination dont il s’agit ici ne peut s'effectuer tant que les fonctions qui contiennent R sont arbitraires, et l’on ne peut que l'indiquer. Donc les trois intégrales secondes sont les résultats de l'élimination de l’indéterminée R entre les trois équations précédentes considérées deux à deux; ce qui peut se faire de trois manières différentes.

Enfin, si l’on fait la somme des carrés des trois équations pré-

cédentes, on trouve (x—@R)" + (y —4R) + (2 —7R) = R;,

qui est l’équation de l’enveloppée mobile, en vertu de la variation de l’indéterminée R. L’équation intégrale finie est donc le résultat de l’élimination de R entre cette équation et sa différentielle, prise en regardant R comme seule variable.

XVe

L’équation aux différences partielles du second ordre, que nous venons de traiter, appartenant à une surface qui n’a qu’une seule caractéristique, et l'intégrale finie de l'enveloppée ne contenant les quantités æ, y, ou, ÔJ« que sous les parenthèses (x —a),(y7 —\Ÿa), elle peut être intégrée d’une autre manière, que Je ne dois pas passer sous silence, parce qu'elle convient à toutes les autres équations quisont dans le même cas, et pour les ordres supérieurs au premier.

Nous avons vu que l'équation de la caractéristique, déduite de l'équation du troisième ordre, est indifféremment l’une des deux

suivantes :

Bdy + Adx — 0, Cdy + Bdx — 0:

B — dx , = mettant pour - sa valeur —- dans la proposée, elle devient

A dy

R(udx® + Swudx*dy + 3wdxdy* + vdy*) — 3k(pdx + gdy) (rdx° + 2sdxdy + tdy°) | + ä Si l’on considère cette équation comme appartenant à la surface, et, par conséquent, aussi à l’enveloppée, de manière que dx et dy puissent être regardées l’une et l’autre comme constantes, elle peut être mise sous la forme suivante :

Rd°z — 3kdzddz — o.

Actuellement, des deux équations de la caractéristique, si l’on multiplie la première par dx, la seconde par dy, et si l’on ajoute, on a

Cdy* + 2Bdxdy + Adx° — 0,

qui, par la restitution des valeurs de À, B, C, donne

R (rdx°? + 2sdxdy + tdy*?) | afp as + apte (+4 le

ou

Rddz — k(dx° + dy* + dz°) — 0;

R , à ps au moyen de laquelle chassant F de l’autre équation aux différences

ordinaires de z, on trouve pour la surface, et par conséquent pour l’enveloppée, l’équation aux différences ordinaires du troisième ordre,

(dx* + dy* + dz*) d°z — 3 dzddz* — 0,

qu'avec un peu d'habitude on reconnaît aisément pour être l’équation générale de la sphère, quelles que soient et la position de son centre dans l’espace, et la grandeur de son rayon; mais si on ne la

. . . . « . . 6 ? = reconnaissait pas, il serait très-facile de l'intégrer, car elle n'est

autre chose que

d | dx? + dy? + dz°

EE Dre ) FE

dont l'intégrale, complétée par la constante arbitraire à, est dx? + dy? + dz° + (3 — à) ddz —

En regardant dx et dy comme constantes, cette intégrale est une autre différentielle exacte, qui peut se mettre sous la forme suivante:

d[xdx + ydy + (z— d) dz] = 0,

dont l'intégrale doit être complétée par une quantité de cette forme Gdx+ ydy, puisque dx et dy ont été regardées toutes deux comme constantes dans la différentiation; donc l'intégrale seconde sera

(x —8)dx + (y —7y)dy + (zx — d) dz = 0,

dans laquelle £ et y sont deux nouvelles constantes arbitraires introduites par la même intégration : ainsi, l'intégrale troisième de l’équation de l’enveloppée sera

(e— 8} + (7 =) et

Or la surface à laquelle appartient la proposée n’a qu’une seule caractéristique; par conséquent, des quatre constantes arbitraires que contient l'intégrale précédente, trois quelconques sont des fonctions arbitraires de la quatrième : donc l’équation intégrale de l’enveloppée, considérée comme mobile en vertu de la variation de son rayon, est

(x— pa) + (y — da) +(z—ma)i= a;

donc, enfin, l'équation imtégrale de l'enveloppe est le résultat de

NS

l'élimination de z entre cette équation et sa différentielle, prise en regardant x comme seule variable.

NeVIT:

Lorsqu'une surface courbe n’a qu'une seule caractéristique, c’està-dire lorsque les fonctions arbitraires qui complètent son équation intégrale sont toutes composées d’une même quantité «, il est toujours possible de déterminer quelles doivent être les formes de toutes ces fonctions, pour que la surface passe par autant de courbes données arbitrairement dans l’espace, où embrasse autant de surfaces courbes données. Mais, comme le procédé est un peu compliqué, je vais en donner la marche pour l’un et pour l’autre cas.

X VII

Trois courbes étant données arbitrairement dans l’espace, déterminer les formes des fonctions arbitraires qui entrent dans l’intéorale, pour que la surface passe par ces trois courbes, ou, ce qui revient au même, pour que l’enveloppée, dans son mouvement, soit perpétuellement tangente à ces trois courbes.

Représentons les deux équations qui comprennent l'intégrale,

par tax

puis, soient

les deux équations données en x, y, z de la première des trois courbes par lesquelles la surface doit passer. Si l’on considère ensemble les trois équations

c’est-à-dire si l’on regarde les coordonnées x, y, z comme ayant respectivement les mêmes valeurs dans les trois équations, ces coordonnées sont celles d’un point commun à l'enveloppée et à la courbe; mais il ne suffit pas que ce point soit commun à la courbe et à la surface, il faut qu’il soit un point de contact: done, si l’on différentie aux différences ordinaires ces trois équations, ce qui, pour la première, donnera

(x — ga) dx + (y — da) dy + (z— ra) dz = 0, et, pour les deux autres, X’dx+ Ydy + Z"dz— 0,

X”dx+ Y"dy + Z'dz — 0,

dans lesquelles les six coefficients sont connus et donnés par la difdir dy dz’ dz’ minent la direction de la tangente de la courbe, aient chacune la

férentiation, il faudra que les deux quantités qui détermême valeur dans ces trois équations; done, si l’on élimine ces deux quantités entre les trois équations, on aura en x, y, 2, @, 1,7, une équation que je représente par

Le 0.

et qui doit avoir lieu pour que la courbe et l’enveloppée se touchent dans le point que l’on considère. Ainsi l’on aura, entre les trois coordonnées de ce point, les quatre équations