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SUR LES DÉVELOPPÉES, LES RAYONS DE COURBURE ET LES DIFFÉRENTS GENRES D'INFLEXIONS DES COURBES A DOUBLE COURBURE.

Tout ce que l’on a fait Jusqu'à présent sur les développées des courbes, en général, se réduit à avoir trouvé celles des courbes planes ; encore, parmi le nombre infini de développées que peut avoir une courbe plane, n’a-t-on considéré, jusqu'ici, que celle qui se trouve dans le même plan qu'elle: or je me propose de démontrer qu’une courbe quelconque, plane ou à double courbure, a une infinité de développées, toutes à double courbure, à l'exception d’une seule pour chaque courbe plane, et de donner la manière de trouver les équations de telle de ces courbes qu’on voudra, étant données les équations de la développante. Tout ce qu’on connaît

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sur les développées n’est donc qu'un cas particulier de l’objet de ce paragraphe.

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Si l’on concoit une droite menée par le centre d’un cercle perpendiculairement à son plan, et prolongée de part et d'autre à l’infini, tout le monde sait que chacun des points de cette droite sera à égales distances de tous les points de la circonférence; que, par conséquent, cette circonférence sera tout aussi rigoureusement décrite, si l’on imagine qu’une seconde droite, terminée, d’une part, à un des points de la circonférence, et, de l’autre, à un point quelconque de la perpendiculaire, tourne autour de cette perpendiculaire comme axe, en faisant constamment le même angle avec elle, que si l’on eut fait tourner le rayon autour du centre et dans le plan du cercle. Cette dernière description, qui n’est qu’un cas particulier de la première, est, à la vérité, plus propre que l’autre à donner idée de l’étendue du cercle, parce qu’alors il suffit de donner le rayon pour que le cercle soit connu; tandis que, par l’autre, il ne suffit pas de connaître la longueur de la ligne décrivante, il faut que l’on connaisse encore, ou l’angle qu’elle forme avec l'axe, ou la partie de l’axe comprise entre le pôle et le plan du cercle, ou, enfin, quelque chose d’équivalent, ce qui comporte nécessairement deux données. Mais tant qu'il ne sera question que de description dans l’espace et non sur un plan résistant, celle des deux méthodes qui aurait quelque avantage sur l’autre serait la générale; parce qu’en prenant sur l’axe deux pôles placés de part et d'autre du plan du cercle, et menant par ces deux points deux droites qui se couperaient en un point de la circonférence, et-faisant enfin mouvoir le système de ces deux droites autour de l’axe, de manière que leur point d’intersection füt fixe sur l’une et sur

l’autre, le point décrirait rigoureusement la circonférence du cercle, 5o

sans qu'on eût eu besoin de connaître au paravant le plan dans lequel elle doit se trouver.

Soit KAaD ( fig. 1, PI. TIT) (*) une courbe à double courbure

quelconque tracée dans l’espace. Par un point A de cette courbe, soit mené un plan MNOP perpendiculaire à la tangente en À; par le point a infiniment proche, soit pareillement mené un plan mnOP perpendiculaire à la tangente en a: ces deux plans se couperont quelque part en une droite OP, qui sera l’axe du cercle dont le petit arc Aa de la courbe peut être censé faire partie; de manière que si des points À et a on abaisse deux perpendiculaires sur cette droite, ces perpendiculaires, égales entre elles, la rencontreront en un même point G qui sera le centre de ce cercle. Tous les autres points g, g’,..., de cette droite seront chacun à égales distances de tous les points de l'arc infiniment petit Aa, et pourront, par conséquent, en être regardés comme les pôles. Aïnsi, si d’un point quelconque g de cet axe, on mène deux droites aux points À et a, les droites gA et ga seront égales entre elles, et formeront avec l’axe des angles AgO et agO égaux entre eux: en sorte que, 1° si l’on voulait définir la courbure de la courbe au point À, il faudrait donner la longueur du rayon AG du cercle osculateur; 2° si l’on voulait assigner le sens de la courbure, il faudrait donner la position du centre G dans l’espace. Mais s’il s’agissait simplement de décrire le petit are, il serait également suffisant, ou de faire tourner la droite AG autour de l’axe, sans altérer l'angle AgO qu'elle fait avec lui, ou de faire tourner le rayon AG perpendiculairement à cet axe.

(*) C’est à cette même P/. TITI que se rapportent tous les numéros de figures qui vont suivre dans ce paragraphe.

Il suit de Jà que la droite OP peut être regardée comme la ligne des pôles de l'élément Aa; que le centre G de courbure de cet élément est celui de ses pôles dont la distance à l'élément est un minimum; enfin, que son rayon de courbure est la perpendiculaire AG, abaissée de l'élément sur la ligne des pôles.