EVE

Que l’on fasse actuellement, sur tous les points de la courbe à double courbure, la même opération que nous venons de faire sur un de ses éléments, c’est-à-dire que, par tous ses points consécutifs A, A", A”, A", etc. ( fig. 2), on fasse passer des plans MNOP, chacun perpendiculaire à la tangente de la courbe, au point dans lequel il la coupe, le premier de ces plans rencontrera le second dans une droite OP, qui sera le lieu géométrique des pôles de l’are AA”; le second rencontrera le troisième dans la droite O"P”, lieu des pôles de l'arc A’A”; le troisième rencontrera le quatrième dans la droite OP”, lieu des pôles de l’arc A”A”, et ainsi de suite. Il est évident que le système de toutes ces droites d’intersection, ou la surface courbe qu’elles forment par leur assemblage, sera le lieu géométrique des pôles de la courbe KAD ; car cette courbe n'aura point de pôles qui ne se trouvent sur cette surface , et la surface n’aura pas de point qui ne soit le pôle de quelqu'un des éléments de la courbe.

AE

Quoique la nature de cette surface courbe dépende absolument de celle de la courbe KAD, cependant toutes les surfaces engendrées de cette manière jouissent d’un caractère général et indépendant, pour chacune d'elles, de la courbe particulière qui a servi à

HotÉ

la former. Ce caractère est de pouvoir être développées sur un plan, comme les surfaces coniques et cylindriques à bases quelconques, sans duplicature et sans solution de continuité. En effet, les hèdres OPP/O’ dont est composée la surface de la fig. 2, sont des portions de plans infiniment étroites, mfiniment longues, et qui se coupent consécutivement suivant des lignes droites. Cela posé, on peut toujours concevoir que la première hèdre OPP'O” tourne autour de la droite O’P” comme charnière, jusqu’à ce qu’elle parvienne dans le plan de l’hèdre suivante O’P'P"O”; qu’ensuite leur système tourne autour de OP”, et en ne faisant qu’un même plan, jusqu’à ce qu’il soit dans le plan de la troisième O’P"P707, et ainsi de suite : d’où l’on voit que rien n'empêche que de cette manière tous les éléments de la surface ne viennent, sans rupture, se ranger dans un même plan. Donc la surface des pôles d’une courbe à double courbure quelconque est toujours une surface

développable Ne

Une courbe quelconque plane ou à double courbure a une infinité de développées, dont le lieu géométrique est aussi la surface des pôles de cette courbe.

DÉMONSTRATION. Du point A de la courbe par lequel passe le premier plan normal MNOP, soit menée dans ce plan, et suivant une direction arbitraire, une droite Ag, jusqu’à ce qu’elle rencontre la section OP quelque part en un point g; par les points A’ et g soit menée, dans le second plan normal, la droite A’g, prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre la section O’P’ en un point g'; soit pareïllement menée A”g'2", et ainsi de suite: je dis que la courbe qui passe par tous les points g, g’, g”,... est une des développées de la courbe KAD; car, 1° toutes les droites Ag, Ag’, A9"...

4 à Mira

sont les tangentes de la courbe g 2"2"..., puisqu'elles sont les prolongements des éléments de cette courbe ; 2° si l’on concoit que la première Ag tourne autour du point g pour venir s'appliquer sur la suivante A’e, elle n’aura pas cessé d’être tangente à la courbe 2 g'e"...,et son extrémité A, après avoir parcouru l’are AA’, se confondra avec l'extrémité A’ de la seconde. Que l'on fasse de même tourner la seconde ligne A’2” autour du point g”, pour qu’elle vienne s'appliquer sur la troisième A”£g”, elle ne cessera pas de toucher la courbe gg'2"..., et son extrémité A’ ne sortira pas de l'arc A’A”, et ainsi de suite. Donc la courbe g 2'o"... est telle, que si l’on concoit qu’une de ses tangentes tourne autour de cette courbe sans jamais cesser de lui être tangente, et sans avoir de mouvement dans le sens de sa longueur, un des points de cette tangente décrira la courbe K AD; donc elle est une de ses développées. Mais la direction de la première droite Ag était arbitraire, et, suivant quelque autre direction qu’on l’eut menée dans le plan normal, on aurait trouvé une autre courbe g g'g”..., qui aurait été pareillement une des développées de la courbe K AD; donc une courbe quelconque à une infinité de développées toutes comprises sur la surface développable qui est le lieu de ses pôles : or cette surface renferme tous Les pôles de la courbe, et est, par conséquent, la seule qui en contienne les développées ; donc elle est leur lieu

géométrique.

VIT

Remarquons que tous les plans M, N, O, P étant tangents à la surface développable, puisque chacun d’eux est le prolongement d'un de ses éléments, la droite Ag, qui, dans tous les instants de son mouvement, se trouve dans un de ces plans, est aussi nécessairement tangente à cette surface.

Si du point À on abaisse sur OP la perpendiculaire AG, du point A’ sur O’P’ la perpendiculaire AG”, du point A” sur OP” la perpendiculaire A”G”, et ainsi de suite, nous avons vu que les points G, G’,G”,... seront les centres de courbure des éléments correspondants de la courbe K AD; que, par conséquent, la courbe qui passerait par tous les points G, G”, G”,... serait le lieu géométrique de ces centres de courbure. Je dis que cette courbe ne peut être une des développées de la proposée, à moins que la proposée ne soit plane, auquel cas elle devient la seule dont on se soit occupé jusqu'à présent. En effet, lorsqu'une courbe est à double courbure, deux tangentes consécutives, quelque part qu’on les prenne, sont bien dans un même plan; mais trois tangentes prises de suite ne peuvent plus s'y trouver : donc trois plans consécutifs, chacun normal à la courbe, ne peuvent pas être perpendiculaires à un même plan, et, par conséquent, l’intersection du premier et du second ne saurait être parallèle à l'intersection du second et du troisième. Donc, pour une courbe à double courbure, les droites OP,.0'P”, O’P”,... ne peuvent pas être parallèles.

Cela posé, la droite AG étant perpendiculaire à OP, la droite A’G lui sera aussi perpendiculaire, et, prolongée jusqu’en #, ne rencontrera pas OP” perpendiculairement; elle sera, par conséquent, distincte de la droite A’G' abaissée perpendiculairement du point A’ sur O"P”. Donc les deux droites consécutives AG et AG ne rencontreront pas la droite OP dans le même point; mais deux droites, considérées dans des plans différents, ne peuvent se rencontrer, à moins que ce ne soit sur l'intersection des deux plans dans lesquels on les considère: donc les droites AG et AG’ ne se rencontrent pas, et ne sont, par conséquent, pas dans un même plan. Il en est de mème de la suite des droites AG”, A”G”, A”G”,..., prises deux

à deux consécutivement ; donc toutes ces droites ne peuvent pas être les tangentes consécutives d’une même courbe. Il suit aussi de là que si, par deux points consécutifs G et G”, l'on conçoit une droite qui sera tangente à la courbe GG’G”..., cette droite ne passera pas par le point A’: or, en tant qu’elle est sur le second plan normal , elle ne pourrait couper la courbe KAD que dans le point A’, où ce plan la coupe lui-même; donc la courbe GG'G"... est telle, qu'aucune de ses tangentes prolongées ne rencontre la courbe KAD; donc elle ne peut être une de ses développées.

Si la courbe KAD était plane, toutes les droites OP, OP’, O"P”,... seraient perpendiculaires au plan de la courbe, et, par conséquent, parallèles entre elles. Les droites AG, AG”, A7G”7,... seraient toutes dans le plan de la courbe, et se rencontreraient consécutivement dans la courbe GG'G”,..., dont elles seraient les tangentes; et il est évident que cette courbe ne serait alors autre

chose que ce qu’on a appelé, jusqu’à présent, la développée de la courbe KAD.