IPS

On aura une des développées d'une courbe quelconque, plane ou à double courbure, si, par un de ses points, et suivant une direction arbitraire, on mène une tangente à la surface développable, qui est le lieu de ses pôles, et si l’on plie librement sur cette surface le prolongement de cette tangente, c'est-à-dire que la courbe gg'g"... est celle que formerait sur la surface OPP”O" une droite pliée librement sur cette surface, et dirigée, au premier instant, suivant À 2.

Pour le démontrer, observons ce qui arrive à une droite ou à un fil que l’on plie librement sur une surface. Ce fil peut être considéré, ou comme ayant une largeur infiniment petite, c’est-à-dire

comme un ruban infiniment étroit, ou comme n'ayant aucune lar-

= oo ——

seur. Soient OP, PO” (Jig. 3 et 4) deux éléments plans ou deux hèdres consécutives d’une surface courbe, jointe par la droite infiniment petite O’P’. Soit, pour le premier cas, ABG ( fig. 3) un ruban infiniment étroit, appliqué sur un de ces éléments suivant une direction quelconque; il est clair que la partie BG ne peut pas se rapprocher de l'élément suivant pour s'appliquer sur lui, sans faire une partie de révolution autour de Bb ou de O’P”; et comme cette révolution doit se faire librement, ce qui comporte que ce ruban doit, dans tous ses points, toucher la surface, l'angle P°BG doit rester constant : le ruban prendra donc une position BC telle, que l'angle P’BC sera égal à l'angle O"BA. Dans le second cas, soit ABC (fig. 4) un fil tendu sur l’arête commune O’P” des deux éléments de la surface. Comme ce fil n’a aucun mouvement, il doit être également tiré par ses deux extrémités, et l’on pourra prendre, de part et d'autre du point B, des droites égales BA, BC, pour représenter ces tensions. On pourra décomposer chacune de ces deux forces en deux autres, l’une parallèle et l’autre perpendiculaire à O’P’; et, en abaissant des points À et C des perpendiculaires sur O’P”, ces quatre forces seront représentées par AD, BD, BE et CE. Puisque le fil est en équilibre, le point B n’a de mouvement ni vers O’ ni vers P': on aura donc

donc on aura

l'angle EBC — l’angle ABD.

De quelque manière donc que l’on considère la ligne que forme, sur une surface courbe, une droite pliée librement, elle doit faire des angles égaux de part et d'autre avec chaque arête que l’on

ER . RTE a considère sur la surface. Or la ligne g 2'g"... (fig. 2) jouit de cette propriété; car on a

l'angle A’g'0O — l'angle A’g/0' — l'angle P'£"g":