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Réciproquement, une surface cylindrique à base quelconque est le lieu des développées d’une infinité de courbes, dont aucune ne
THON — peut être à double courbure. Soient, en effet ( fig. 5), BB'B”B”.... une courbe plane quelconque, et O0"0"0”.... sa développée
plane; par tous les points B, B’, B”,... soient menés dans le plan
de la courbe les rayons de développées BO, B’0”, B”0”,..., quise
couperont consécutivement dans la développée 000"0”..., à la-
quelle ils seront tangents. Par les points O, 0", 0”, 07,... soient menées, perpendiculairement au plan de la courbe, les droites OP, O"P”, O’P”,..., dont l'assemblage formera une surface cylindrique qui, d’après l’article précédent, sera le lieu de l’infinité de développées de la courbe BB'B”B”.... Par le point B, et suivant une inclinaison quelconque, soit menée sur OP la droite BP; par les points B’ et P soit menée la droite B'P, prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre OP quelque part en P’: de même, soit menée B”P”, prolongée jusqu’à ce qu'elle rencontre OP" en P”, et ainsi de suite; ou, ce qui revient au même, par le point B, et suivant une direction quelconque BP, soit menée une tangente à la surface cylindrique, et soit librement pliée cette droite sur la surface en PP'P”"P”...; on aura une des développées à double courbure de la courbe plane BB'B”B"”.... Cela posé, la courbe PP'P7.... est bien, à la vérité, la développée d’une infinité d’autres développantes que de BB:B”...; mais il est clair que toutes ces développantes doivent être comprises dans la surface courbe formée par les rayons de développées BP, B'P”, B’P”..., et qu’on aura une de ces développantes en allongeant ou diminuant tous ces rayons
M... décrites
d’une quantité constante Bb : ainsi les courbes bb"b"b par l’extrémité du rayon de développée, augmenté ou diminué de la quantité Bb, ont aussi, pour une de leurs développées, la courbe PP'P”P”.... Or, si des points b, b”, b”, b",..., on abaisse des perpendiculaires sur le plan de la courbe BB°B”B”..., on aura autant de triangles rectangles Bbk, B'b’k",..., égaux entre eux et semblables, puisque tous les rayons des développées sont également
Or
—Noù:—
inclinés à ce plan : donc toutes les perpendiculaires bk, b'k, b” F1 seront égales; done tous les points de chaque courbe bb"b"b7…. seront à égales distances du plan de la première; donc ces courbes seront planes : ainsi la courbe PP'P”P”... ne peut être la développée que de courbes planes. Mais ce que l’on vient de dire de la courbe PP'P”P”... peut s'appliquer à toute autre décrite de la même manière sur la surface cylindrique; donc une surface cylindrique à base quelconque ne peut être le lieu des développées que de courbes planes.
Toute courbe tracée sur la surface d’une sphère a pour lieu de ses développées la surface d’un cône dont le sommet est au centre de la sphère, et dont la base dépend de la nature de la courbe; car tous les plans perpendiculaires aux éléments de la courbe le sont aussi à la surface sphérique, et passent, par conséquent, par le centre.
Réciproquement, une courbe quelconque, dont le lieu des développées est la surface d’un cône à base quelconque, est sphérique, et a pour centre le sommet du cône; car, pour en trouver une développée, 1l est indifférent de donner telle direction que l’on voudra au rayon de développée, pourvu qu'il soit normal à la courbe, ou, ce qui revient au même, qu'il soit tangent à la surface conique : on peut donc le diriger au sommet du cône, autour duquel il fera une infinité de révolutions sans s’allonger sensiblement, et le point décrivant restera toujours à la même distance de ce sommet.
X VI
Donc une courbe qui n’est ni plane ni sphérique a pour lieu de ses développées une surface développable, dont deux arêtes recti-
