AO

lignes consécutives se rencontrent bien quelque part, mais dont trois prises de suite ne se rencontrent pas dans un même point. La suite de ces points d’intersection forme une courbe qu’il est fort aisé de reconnaitre pour ne devoir jamais être plane, parce qu’alors la surface développable, dont toutes les arètes ne sont autre chose

que les tangentes de cette courbe, serait réduite à un plan.

X VII

Done, 1° lorsque le lieu des développées d’une courbe à double courbure aura deux arêtes consécutives parallèles entre elles, la partie correspondante de la courbe sera plane, et réciproquement; 2° lorsque trois de ces arêtes consécutives se rencontreront dans le même point, la partie correspondante de la courbe sera sphérique, et son centre sera au point de rencontre des trois arêtes.

Avant que d'aller plus loin, disons quelque chose des surfaces développables en général.

X VIII

Il suit de tout ce qui précède, que les surfaces développables sont toutes composées du système d’une infinité de droites prolongées à l'infini, et qur, toutes prises deux à deux consécutivement, sont dans un même plan. 11 peut donc arriver ces trois cas: 1°qu’elles soient toutes parallèles entre elles, et alors la surface développable est cylindrique à base quelconque; 2° qu’elles se rencontrent toutes dans un même point : dans ce cas, la surface est celle d’un cône à base quelconque; 3° enfin, que toutes ces droites se rencontrent deux à deux consécutivement dans une suite de points, dont le système forme une courbe à double courbure, à laquelle toutes ces droites sont tangentes, et c’est le cas général des surfaces développables. Cette courbe, pour chaque surface en particulier, est singulièrement remarquable, et jouit, en général, des propriétés suivantes :

Li f06

1°. Cette courbe suffit pour déterminer la surface développable à laquelle elle appartient, puisque cette surface n'est autre chose que le lieu géométrique de ses tangentes.

2°. Elle est la limite de la surface développable, puisqu'aucune des droites dont est composée la surface ne peut passer du côté vers lequel cette courbe est concave. Ceci s’entendra mieux par un exemple. Que l’on concoive que toutes les tangentes possibles de l’hélice d’une vis soient prolongées à l'infini, et forment, par leur système, une surface développable : cette surface aura un nombre infini de rappes, et chacune de ces nappes sera d’une étendue infinie, comme les droites dont elle est composée; mais aucune d'elles n’entrera dans le cylindre sur la surface duquel est tracée l’hélice : elles viendront donc toutes se terminer à cette courbe, qui sera, par conséquent, leur limite.

3°. Cette courbe est pour la surface développable ce qu'un point de rebroussement est pour une courbe ordinaire ; car les tansentes d’une courbe peuvent également être prolongées dans les deux sens, chacune par rapport à son point de contact : or leurs prolongements dans un sens forment une nappe particulière; leurs prolongements dans l’autre sens forment une nappe distincte de la première, tant que la courbe n’est pas plane, et néanmoins ces deux nappes passent à la fois par la courbe qui est leur limite commune. Cette courbe est donc, à proprement parler, l’aréte de rebroussement de la surface développable; c’est aussi le nom que je lui donnerai. J’appellerai done désormais aréte de rebroussement d'une surface développable la courbe touchée par toutes les droites dont cette surface est composée, ou, pour parler plus rigoureusement, la courbe constamment touchée par la droite qui, en se mouvant, engendre la surface.

[ne s’agit plus actuellement que d'appliquer l'analyse à tout ce qui précède.

Etant données les équations d'une courbe à double courbure rapportée à trois plans rectangulaires, trouver celle du plan

normal mené par un point déterminé de la courbe.

SoLurion. Le plan normal étant perpendiculaire à la tangente de la courbe au point où elle est coupée par ce plan, il suit du premier problème qu’on aura facilement l'équation demandée, lorsqu’on aura celles des projections de cette tangente; or ces projections sont elles-mêmes les tangentes aux projections de la courbe dans des points qui correspondent à la même abscisse : la question est donc réduite à trouver les équations des tangentes des projections. Soient |

les équations des projections de la courbe, & et + indiquant des fonctions quelconques; soient, de plus, x” l’abscisse du point déterminé de la courbe par lequel on doit mener le plan normal, et, par conséquent, ox” et x’ les autres coordonnées de ce point: cela posé, cherchons d’abord l’équation de la tangente à la projection sur le plan des x et +.

Cette équation doit généralement être de cette forme,

y = Ax +B,

À étant la tangente de l’angle que fait cette droite avec l’axe des x. : Or cet angle est le même que celui que fait avec le même axe l’élément de la projection qui correspond aux coordonnées x” et gx"; donc on aura

EC ACROSS FEES — Ta = 9%.

La tangente devant, de plus, passer par cet élément, il faut que la

MR da

constante B soit telle, qu’en faisant x = x" on ait

= 92"; l'équation de la tangente à la projection sur le plan des x et y

sera donc ! ' 4 / LA V—px =(x—x)pax.

Par un semblable raisonnement, on trouvera que l'équation de la tangente à la projection sur le plan des x et z, pour la même abscisse du point de contact, est

z— dax = (x — x')d'x.

Ces deux équations sont celles des projections de la tangente de la courbe à double courbure, et l'équation demandée du plan

normal sera

(A) (z— dx) dx + (y —@x)Q'x + x —x"— 0:

Etant données les équations d'une courbe a double courbure rapportée à trois plans rectangulaires, trouver celle de la surface développable qui est le lieu géométrique de toutes ses développées ;

SOLUTION. Soient, comme précédemment,

Ÿ — DLIMEUREE EC

les équations de la courbe proposée, de manière que celle du plan normal mené par le point de la courbe qui correspond à l’abscisse x” soit, en vertu du problème précédent,

(A) (z— dx") Var + (y — ox')g'x + x — x — 0.

Si l’on prend encore sur la courbe un point infiniment voisin du

Mon =

premier, et correspondant à l’abscisse + dx”, l'équation du plan normal mené par ce nouveau point se trouvera en mettant, dans la précédente, x” dx” à la place de +”, et sera

[z— (x + dx”)]d'(x"+ dx”)

à D free de')Je/(a + du) + & —(x"+ dx

et si, dans les deux équations (A) et (a), on fait les x, y et z de l’une égales respectivement aux x, y et z de l’autre, ces deux équations seront celles de la droite d’intersection des deux plans infiniment voisins; ou bien, retranchant (A) de (a), négligeant les infiniment petits du second ordre, et divisant par dx”, on aura pour cette droite d’intersection les deux équations suivantes :

(A) (z— dx) d'a + (y — ex" )g x +x—x —o, (D) (ea ga (or eue fn fe (Vo

Or cette intersection se trouve tout entière sur la surface des développées, et renferme tous les pôles de l'élément de la courbe compris entre les limites &” et x”+ dx”; donc, pour avoir entre +, y et z une relation qui convienne à tous les pôles de la courbe, indépendamment de l’abscisse +”, on n'aura qu’à éliminer +” des deux équations (A) et (B), et l'équation qui résultera sera celle de la surface demandée.

On peut déduire immédiatement l'équation (B) de l’équation (A), en remarquant qu’elle est la différentielle de celle-ci prise en regardant x’ comme seule variable. Donc, pour trouver l’équation de la surface développable, qui est le lieu géométrique des développées d'une courbe à double courbure, il faut d’abord chercher l’équation du plan normal à la courbe, qui sera nécessairement de cette

= ‘Aio a

forme, Az + By + Cx + D — 0,

et dans laquelle les constantes A, B, CG, D sont des fonctions connues de l’abscisse x”, correspondante au point de la courbe par lequel passe le plan normal; différentier ensuite cette équation en ne faisant varier que +’, ce qui donnera une seconde équation qui

servira à éliminer +” de celle du plan, et l'équation en x, yet z qu’on obtiendra, sera celle de la surface demandée.

Etant données les équations d'une courbe à double courbure, trouver celle de l’arête de rebroussement de la surface dévelop-

. e A "é LA : ® # ’ pable qui est le lieu géométr ique de ses développées.

SOLUTION. Les deux équations du problème précédent étant celles de l’intersection des deux plans perpendiculaires à la courbe, menés par les points qui correspondent aux abscisses x” et x'+ dx", et, par conséquent, celles d’une des droites qui composent la surface des développées; si l’on suppose que dans ces deux équations, x” devienne x’+ dx”, et que x’ + dx’ devienne x’ + 24x’, ce qui donnera

a) ETES IPN =

+ x —(x'+ dx!) }

\ Lz—Ÿ(x'+2dx") (x +2dx")+T 7—gp(x'+2dx')]9"(x'+2dx')) à. + x —(x'+2dx) (79

ces deux équations seront celles d’une droite qui se trouve encore sur la surface des développées, infiniment près de la première; et si, dans les quatre équations (A), (B), (a) et (b), on fait les x, y, = de chacune d’elles égales aux æ, y, z de toutes les autres, ces quatre équations seront celles de l’intersection de ces deux droites infini-