X XIV

Si, des trois équations (A), (B) et (C), on tire les valeurs des trois variables +, y et z, on trouvera

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Ces valeurs sont celles des coordonnées du point dans lequel se rencontrent les deux droites consécutives prises sur la surface développable, ou les trois plans consécutifs perpendiculaires à la courbe, et menés par les éléments qui correspondent aux abscisses x’, &'+ dx’ et x'+ 2dx". Ce point est à égales distances de ces trois éléments ; car, en tant qu’il se trouve dans l'intersection des deux premiers plans, il est à égales distances des deux premiers éléments, et en tant qu’il se trouve dans l’intersection du second et troisième plan, il est également éloigné des second et troisième éléments : donc les valeurs de x, y et z, que nous venons de trouver, sont celles des coordonnées d’un point également éloigné des trois éléments consécutifs de la courbe, pris dans la partie de cette courbe qui correspond à l’abscisse x’; or ces valeurs seront toujours réelles, tant que la branche de la proposée ne sera pas

PTE

imaginaire, c’est-à-dire tant que y” et z’ ou gx” et À x” seront réelles : donc, dans toute courbe à double courbure, trois éléments conséeutifs sont toujours à égales distances d’un certain point, et peuvent, par conséquent, être regardés comme placés sur la surface d’une même sphère dont ce point est le centre. La suite de tous ces centres forme l’arête de rebroussement de la surface des développées de cette courbe ; donc cette arête est le lieu géométrique des centres de courbure sphérique de la courbe, sans être une de ses développées, puisque aucune de ses tangentes ne rencontre la proposée, et qu’elles sont toutes sur la surface développable.

XX V

Etant données les équations d’une courbe à double courbure quelconque, trouver celles de telles de ses développées qu'on

voudra.

SoLuTION. ‘Toutes les développées d’une courbe étant sur une même surface développable, l'équation de cette surface est commune à toutes les développées: or nous avons donné (art. XXII) la manière de trouver cette équation, et nous avons vu qu’elle était le résultat de l'élimination de la quantité x” des deux équations (A) et (B) ; il ne reste donc plus qu’à trouver pour chaque développée une équation particulière qui la distingue de toutes les autres, et qui détermine sa manière d’exister sur la surface développable. Pour cela, considérons que chaque développée doit être telle, que le prolongement de sa tangente en un point quelconque coupe la développante dans le point dont les coordonnées sont x’, @x’ et 4x’; ou, ce qui revient au même, que le prolongement de la tangente de sa projection passe par la projection du point de la développante dont les coordonnées sont x”, @x’ et dx’. On aura

HS donc, par rapport à la projection sur le plan des z, y:

dz ___2—dx"

CLÉS TT Si des trois équations

(A) (z—dx')d x + (y —ox')g x'+x— x'—=0,

(B) (er )pla + (y — qu) ga lie (aa) + (ÿa/)] =

on élimine lindéterminée +”, les deux équations qu'on obtiendra en +, y et z, et dont l’une sera aux différences premières, seront

les deux équations demandées.

XX VE

Au lieu d'employer, comme nous avons fait, les projections sur le plan des y et z, on peut se servir de la projection sur l’un quelconque des deux autres plans, et à la place de l’équation (D) on aura, dans le cas du plan des x et y,

(y — ®x") dx = (x — x’) dy,

et, dans le cas du plan des x et z, (z — x") dx — (x — x!) dz.

De ces trois équations différentielles, deux quelconques comportent généralement la troisième ; mais si, comme dans le cas dont il s’agit, on suppose que les deux équations (A) et (B) aient lieu en même temps qu'elles, alors, de ces trois équations différentielles, une quelconque comporte les deux autres, et il suffit d'employer celle qui présentera moins de difficulté dans l'intégration.

RD Le