PREMIÈRE PARTIE

RECHERCHE DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES ORDINAIRES DE LA CARACTÉRISTIQUE.

Pour mettre plus de clarté dans la recherche des équations de la caractéristique, je vais l’entreprendre par les seules considérations géométriques; mais ce que j'ai dit jusqu'ici sur la caractéristique (S VIIT, page 53) n’est pas complet, et Je vais reprendre les choses de plus haut.

Sqees 422 re

Concevons une surface courbe quelconque donnée, dont la construction dépende de deux paramètres z, B, et dont l'équation

soit représentée par

flex, æ 60:

supposons, de plus, que les deux paramètres ne soient pas indépendants l’un de l’autre, mais qu’il y ait entre eux une relation déterminée exprimée par B—@zx, ® étant une certaine fonction donnée; en sorte que x soit le paramètre principal : l'équation de

la surface sera 7. 1x, y Zy &; LA NUE

Cela posé, suivant que l’on donnera au paramètre z des valeurs différentes, l'équation appartiendra à des surfaces différentes, dans chacune desquelles les quantités x, @x, qui seront toutes deux constantes, auront des valeurs différentes. Si donc on suppose que le paramètre « prenne successivement toutes les valeurs possibles, depuis — æ jusqu'à + æ , la surface se mouvra en changeant de forme; elle passera successivement par toutes les formes et toutes les positions dont elle est susceptible, et elle parcourra un certain espace. Enfin, si l’on suppose que toutes ces surfaces existent ensemble, et qu'une autre surface les enveloppe toutes, cette dernière surface, jusqu’à laquelle chacune des premières s’étend, au delà de laquelle aucune d’elles ne se porte, et qui est, par conséquent, leur limite, est aussi la limite de l’espace parcouru par la première, regardée comme mobile et variable de forme, en vertu de la variation du paramètre x.

C'est cette dernière surface à laquelle, en la comparant à la sur-

face mobile, j'ai donné le nom d'esveloppe; tandis que j'ai donné

celui d’enveloppée à la surface mobile.

Il est évident que l'enveloppe touche chacune des enveloppées dans une courbe qui se trouve en même temps et sur l'enveloppe et sur l’enveloppée; c’est cette courbe de contact à laquelle j'ai donné le nom de caractéristique de l'enveloppe. Or il n’y à sur l'enveloppe aucun point dans lequel cette surface ne touche une certaine enveloppée pour laquelle le paramètre constant « a une certaine valeur déterminée. Donc il n’y a sur l'enveloppe aucun point par lequel ne passe une certaine caractéristique pour laquelle le paramètre x a la même valeur que pour l’enveloppée sur laquelle cette courbe se trouve, c’est-à-dire pour laquelle les quantités , ox sont toutes deux constantes.

L'enveloppe peut donc être regardée comme le lieu de toutes les caractéristiques qui correspondent aux différentes valeurs de x, et, par conséquent, comme engendrée par le mouvement de la caractéristique, considérée comme mobile et variable de forme en vertu de la variation du paramètre x. Nous verrons plus loin (art. XI) pourquoi de toutes les génératrices possibles de l’enveloppe celle-ci m'a paru devoir être distinguée par un nom particulier.

if ls

Si l’on considère deux enveloppées consécutives pour l’une desquelles le paramètre « ait une certaine valeur déterminée qui, dans l’autre, sera x + dx, ces deux surfaces se couperont dans une certaine courbe qui sera aussi une ligne de contact entre elles deux, et qui ne différera pas de celle dans laquelle la première des deux enveloppées touche l'enveloppe: cette courbe sera donc la caracté-

ristique qui correspond à la première des deux enveloppées. Or les équations de ces deux enveloppées consécutives sont

FA Ÿs 7; oa) — O, FNEz Ÿ, 3, a + da, ou + da) = 0:

ou, représentant la première par

as

du ( ces Dé

Donc ces deux équations sont celles de la caractéristique; et, parce

la seconde est

qu'elles doivent avoir lieu en même temps pour cette courbe, la première réduit la seconde, et elles deviennent

dans lesquelles la valeur de x détermine la forme et la position de chacune des caractéristiques. Donc enfin l'enveloppe, qui est le lieu général de toutes les caractéristiques, aura pour équation inteorale le résultat de l'élimination de l’indéterminée x entre les deux équations précédentes .