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On voit que si la forme de la fonction © est donnée, et, par conséquent, celle de sa dérivée 9”, l'élimination de « sera toujours possible, et que l'équation de l'enveloppe sera entièrement délivrée du paramètre variable +; mais elle contiendra toujours des

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traces de la fonction @ et de sa dérivée 9’: ainsi, pour chaque forme différente que l’on pourra donner à la fonction +, on aura une enveloppe différente. Si donc on veut que l’équation appartienne à toutes les enveloppes possibles qui peuvent être produites par les divers mouvements que l’on pourrait donner à l'enveloppe mobile, il faut regarder la forme de la fonction 9 comme arbitraire: mais alors l'élimination du paramètre x n’est plus praticable, ou du moins elle ne peut s'effectuer que dans des cas particuliers, et l’équation de l'enveloppe ne peut plus, en général, être exprimée que par le système des deux équations

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entre lesquelles il faut éliminer l’indéterminée x, et dans lesquelles la fonction © est arbitraire.

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Néanmoins l’enveloppe peut être exprimée par une équation unique aux différences partielles; en effet, des deux équations précédentes, la seconde énonce que la différentielle de la première, prise en regardant x comme seule variable, est égale à zéro : on peut donc différentier la première en regardant x comme constante.

Mais cette équation je — O0 appartient à une surface courbe pour

laquelle deux variables, par exemple +, y, sont indépendantes, ainsi que leurs différentielles dx, dy; il faut donc que les deux différentielles de cette équation, prises en regardant d’abord x, puis y comme seules variables, aient lieu chacune en particulier :

la première sera en

la seconde sera en

q; V Z, 4, OX.

Donc, entre ces deux équations et É — 0, on pourra éliminer les

deux quantités x, @z, et l’on aura une équation aux différences partielles du premier ordre

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Or, 1° en éliminant +, on transporte à l'enveloppe ce qui n’était dit d’abord que de l’enveloppée; 2° en éliminant gx, on transporte à toutes les enveloppes possibles ce qui n’était dit d’abord que de l'enveloppée déterminée par la forme supposée à la fonction ®.

Donc l'équation aux différences partielles du premier ordre

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appartient à toutes les enveloppes possibles qui peuvent être produites d’une manière quelconque par le mouvement de la même enveloppée mobile.