VAE

On sait que, deux courbes quelconques étant données dans l’espace, si l’on approche d'elles un plan qui les touche toutes deux, ce qui ne déterminera pas sa position, et si l’on suppose que ce plan roule de manière qu'il ne cesse pas de toucher les deux courbes dans son mouvement, qui, par là, sera déterminé, il parcourra un espace dont l'enveloppe est une surface développable qui passe par les deux courbes.

Cela posé, concevons deux caractéristiques consécutives dont la

Er première corresponde à une valeur déterminée de 4, et supposons qu'un plan roule sans cesser de les toucher toutes deux ; le mouvement de ce plan déterminera une surface développable qui passera par les deux caractéristiques consécutives, et qui sera, par conséquent, tangente à l'enveloppe. Dans l'équation de cette surface développable, x aura la même valeur déterminée que pour la caractéristique dans laquelle elle touche l'enveloppe; et les quantités «, @x seront toutes deux constantes.

Actuellement, si, sur la seconde caractéristique et la troisième, on fait la même opération que nous venons de faire sur la pre- -mière et la seconde, on aura une seconde surface développable qui passera de même par la seconde caractéristique et la troisième, qui touchera de même l'enveloppe, et dont l'équation ne différera de celle de la première que parce que la quantité x sera devenue x + da; et il est évident que ces deux surfaces développables consécutives se couperont dans la seconde caractéristique qui leur est commune.

Si donc on continue de faire passer ainsi des surfaces développables par toutes les caractéristiques prises deux à deux consécutivement, on aura une suite de surfaces développables tangentes à l'enveloppe, et dont deux quelconques consécutives se couperont dans une des caractéristiques : donc, si l’on suppose que la surface développable se meuve dans l’espace, en vertu de la variation du paramètre « que contient son équation, elle parcourra un espace . dont l'enveloppe sera la même que celle que nous avons eonsidérée jusqu'ici. Cette surface développable peut donc être re- gardée comme une enveloppe nouvelle, mobile en vertu de la variation du même paramètre z, et à laquelle appartient la même enveloppe. |

LReB

NELIE

Ce que nous venons de dire de la surface développable dont l'équation générale aux différences partielles rt — 5° — o est du second ordre, peut se dire aussi de toute autre surface dont l’équation aux différences partielles est aussi du second ordre : nous n’en rapporterons qu'un seul exemple.

Concevons qu'une sphère de rayon constant roule en touchant toujours la première caractéristique et la seconde; elle parcourra un espace dont l’enveloppe sera la surface d’un tuyau à section circulaire de rayon constant ; et cette surface, dans l'équation de laquelle le paramètre x aura la valeur déterminée qui convient à la première caractéristique, passera par les deux caractéristiques consécutives, et sera tangente à l'enveloppe primitive.

Si l’on fait la même opération sur la seconde caractéristique et la troisième, on aura la surface d’un second tuyau à section circulaire de même rayon, qui passera par la seconde caractéristique et la troisième, qui touchera de même l’enveloppe primitive, et dont l'équation ne différera de celle de la première que parce que le paramètre & aura pris la valeur &« + da. Les surfaces de ces deux tuyaux consécutifs se couperont dans la seconde caractéristique qui leur est commune.

Si donc on continue de faire passer ainsi des surfaces de tuyaux circulaires par toutes les caractéristiques considérées deux à deux consécutivement, on aura une suite de surfaces tangentes à l’en-. veloppe primitive, et qui, considérées elles-mêmes deux à deux consécutivement, se couperont successivement dans toutes les caractéristiques. Donc, si l’on conçoit que la surface du tuyau, dans l'équation de laquelle entre le paramètre x, se meuve dans l’espace en vertu de la variation de ce paramètre, elle parcourra un espace

qui aura la même enveloppe.

VTEE

U suit de là qu'une surface, considérée comme enveloppe, n'a pas d’enveloppée nécessaire; c’est-à-dire qu’elle est l’enveloppe commune d’un nombre infini d'espaces différents parcourus par des enveloppées différentes, mobiles chacune en vertu de la variation du même paramètre x qui se trouve, ainsi que gx, dans l’équation de l’enveloppée. Or nous avons vu (art. IV) que l'équation intésrale d’une surface considérée comme enveloppe est, en général, le résultat de l'élimination de « entre l'équation de l’enveloppée

mobile

Î x, Jo 7; &; pa) A0;

et sa différentielle prise en regardant « comme seule variable ; nous venons de voir d’ailleurs que la fonction 5 est susceptible d’un

nombre infini de formes différentes, dépendantes de la nature de l’enveloppée mobile ; done, lorsque l'équation intégrale d’une enveloppe est présentée comme le résultat de l'élimination de + entre deux équations telles que