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le système de ces deux équations n’a rien de nécessaire, et il peut être remplacé par un nombre infini d’autres systèmes de deux équations différentes des deux premières, et produisant le même résultat par l'élimination de x.
Néanmoins il est avantageux de choisir, parmi toutes les enveloppées mobiles qui, par leur mouvement, produisent la même enveloppe, celle dont l'équation est plus simple, ou dont
+ PER la construction est plus facile, ou à la considération de laquelle on
est plus accoutumé.
Considérant sur une enveloppe quelconque la suite des caractéristiques dont elle est le lieu, commencons par celle de ces courbes qui correspond à une valeur déterminée de x; prenons sur elle un point arbitraire, et concevons sa tangente en ce point; puis, par cette tangente, menons un plan quelconque qui sera tangent à la courbe, mais dont la position ne sera pas détérminée, et qui ne sera pas tangent à l'enveloppe. Cela fait, concevons que le plan tourne autour de la tangente jusqu'à ce qu'il touche la caractéristique suivante en un certain point qui sera déterminé; la position du plan sera alors déterminée, il sera tangent à l'enveloppe, et il contiendra la tangente à la seconde caractéristique.
Concevons ensuite que le plan tourne autour de la tangente de la seconde caractéristique, jusqu’à ce qu’il touche la troisième en un autre point qui sera de même déterminé ; dans cette position, il sera encore tangent à l'enveloppe, et il contiendra la tangente à la troisième caractéristique.
Enfin, concevons que le plan continue de rouler ainsi, en tournant toujours autour de la tangente de la caractéristique qu’il touche, jusqu’à ce qu'il touche la caractéristique suivante ; il est évident que dans son mouvement il ne cessera pas d’être tangent à l'enveloppe, puisqu'il passera toujours par les tangentes de deux caractéristiques consécutives. Il déterminera sur l'enveloppe une suite de points de contact dont le lieu sera une courbe qui passera par le point de contact pris arbitrairement sur la première caractéristique. Il y aura donc sur l’enveloppe autant de courbes déterminées de cette maniere, que l’on peut concevoir de points pris arbitrairement sur la première caractéristique ; chacune de-ces courbes
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coupera toutes les caractéristiques, et réciproquement. Et, parce que la considération de ces courbes va nous devenir nécessaire, je leur donnerai le nom de trajectoires de la caractéristique. Les angles sous lesquels les trajectoires coupent les caractéristiques dépendent, en général, de la nature de l'enveloppe. Par exemple, dans les surfaces de révolution, les parallèles sont les caractéristiques, les méridiens sont les trajectoires ; et, dans ce cas, les trajectoires sont orthogonales. ,
Le plan qui se meut de manière à toucher toujours l'enveloppe dans la même trajectoire détermine une surface développable qui touche elle-même l’enveloppe dans toute l'étendue de la trajectoire.
Nous avons fait rouler le plan tangent sur l'enveloppe de deux ‘manières différentes. |
Dans la première, le point de contact du plan mobile ne sort pas de la même caractéristique, et deux plans consécutifs se coupent dans la tangente à la trajectoire qui passe par le point de contact.
Dans la seconde, le plan de contact du plan mobile ne sort pas de la même trajectoire, et deux plans consécutifs se coupent dans la tangente à la caractéristique qui passe par le point de contact.
Ainsi, la surface développable qui touche l'enveloppe dans la caractéristique, et celle qui touche l’enveloppe dans la trajectoire, sont réciproques, en cela que la première est le lieu des tangentes aux différentes trajectoires dont les points de contact sont pris sur la même caractéristique, tandis que la seconde est le lieu des tangentes aux différentes caractéristiques dont les points de contact sont pris sur une même trajectoire.
Cette propriété mérite une grande attention, parce que c’est son expression qui nous produira les deux équations aux différences ordinaires de la caractéristique.
