FAST CES

Par exemple, dans la surface de révolution, le méridien, qui est la trajectoire, est bien une génératrice; c’est même la seule qu'on ait coutume de considérer : mais cette génératrice est propre à une surface de révolution individuelle; elle varie sans aucune dépendance d’un individu à un autre, et ce n’est pas elle qui donne à la surface le caractère d’être de révolution. C’est le parallèle seul, c’est-à-dire la circonférence de cercle dont le plan est toujours normal à l'axe constant de position, qui passe par son centre; c’est, dis-je, le parallèle qui est la génératrice commune à toutes les surfaces de révolution autour d'un même axe; c’est cette courbe qui imprime à la surface le caractère d’être de révolution ; c’est elle qui est la caractéristique de cette génération.

Ces préliminaires étant posés, nous allons passer à la recherche des équations aux différences ‘ordinaires de la caractéristique.

XIT.

Soit proposée l'équation générale aux différences partielles du premier ordre

(A) Flip, qg, 27 z}—=0,

dans laquelle les cinq quantités entrent d’une manière quelconque, mais donnée ; si on la différentie aux différences ordinaires, on a une équation aux différences ordinaires de la forme

Pdp + Qdq + X dx + Ydy + Zdz = 0,

dans laquelle les cinq coefficients P, Q, X, Y,Z, obtenus par la différentiation, sont connus en p, q, x, y, z; et parce que l’on a d’ailleurs dz — pdx + qdy, cette équation différentielle sera

(B) Pdp+ Qdq+(X + pl)dx + (Y + q2)dy — 0.

Cela posé, considérons le plan tangent qui s'appuie sur deux carac- À

téristiques consécutives quelconques, et qui les touche chacune en un point. Si, sur l'enveloppe, on veut passer du premier de ces deux points de contact au second, c’est-à-dire parcourir l’élément de la trajectoire; comme ces points sont sur le même plan tangent, les quantités p, g ne changent pas dans le passage: il faut donc faire dans (B) dp — 0, dy — 0, ce qui donnera

dans laquelle la valeur de 2 indique, sur le plan des x, y, la direction suivant laquelle doit se faire le passage, c’est-à-dire la direction de la projection de l'élément de la trajectoire. Cette équation différentielle n’est donc autre chose que celle de la projection de la trajectoire elle-même sur le plan des x, y.

Le plan tangent n’est pas la seule surface qui passe par la trajectoire ; si dans (B) on fait

(D) Pdp + Qdq = 0,

on a également l'équation (C) ; ainsi la surface à laquelle appartient l'équation (D) passe aussi par la trajectoire. Or cette surface est développable, puisque son équation aux différences ordinaires est en dp, dq; de plus, elle touche l'enveloppe, puisque les quantités p, q ont les mêmes valeurs pour cette surface et pour l’enveloppe : donc l’équation (D) est celle de la surface développable qui touche l'enveloppe dans la trajectoire.

Jusqu'ici, nous avons regardé comme immobile le plan tangent dont l'équation, limitée à l’étendue de l’élément de l’enveloppe, et rapportée au point de contact pour origine, est

(E) dz — pdx RE qdy ;

mais si l’on veut commencer à faire rouler ce plan d'une manière

quelconque sur l'enveloppe, pour donner lieu à la formation d’une surface développable quelconque, le second plan coupera le premier dans une droite dont on aura l'équation en différentiant (E) sans faire varier les coordonnées dx, dy, dz, ce qui donnera

(F) dp dx + dq dy = 0.

Dans cette dernière équation, si l’on met pour 2. la valeur qui convient à la droite autour de laquelle le plan tourne, on aura en dp, dq l'équation aux différences ordinaires de la surface développable produite par le mouvement du plan; et, si l’on met

d . . \ , f £ pour ; la valeur qui convient à la surface développable produite

par le mouvement du plan, on aura en dx, dy l'équation de l’élément de la droite autour duquel le plan tourne.

D’après cela, si le plan roule de manière que le point de contact ne sorte pas de la caractéristique, il tourne autour de la tangente à

5 : ly RP Re la trajectoire, et la valeur de SL doit être celle que fournit l’équa-

tion (C) de la trajectoire. Si done on substitue cette valeur, ce qui produira

(G) (X + pZ)dq — (NY + qL)dp — 0,

on aura l'équation différentielle de l’enveloppée développable, équation qui appartient aussi à la caractéristique comprise sur cette enveloppée. Si, au contraire, le plan roule de manière que le point de contact ne sorte pas de la trajectoire, il tourne autour de la tangente de la caractéristique, il donne lieu à la formation de la

surface développable qui touche l'enveloppe dans la trajectoire, et dq

la valeur de de doit être celle que donne l'équation (D) de cette surface. Si donc on substitue cette valeur, ce qui produira (H) | Pdy — Qdx — 0,

stat