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on aura une équation qui appartient à l’élément de la caractéristique autour duquel tourne le plan, et, par conséquent, l'équation différentielle de la projection de la caractéristique sur le plan des x, y. Ainsi, les deux équations aux différences ordinaires (G), (H) appartiennent à la caractéristique.
En nous résumant, on voit que l'équation
(B) : Pdp + Qdq + (X + pZ)dx + (Y + qgZ)dy —0 étant partagée dans les deux suivantes :
(C) (X + pZ) dx + (Y + q2) dy = 0,
(D) Pdp + Qdg = 0,
et ayant posé l’équation
(Ft dp dx + dq dy = 0,
d 2 “1 ou 7, les valeurs que donne dx dp
cette dernière, on aura les deux équations
si l’on substitue dans (C), (D), pour
(G) (X + pZ)dq — (Y + qL) dp = 0, (H) Pdy — Qdx — 0,
qui appartiennent toutes deux à la caractéristique.
Les équations (B), (E) qui appartiennent toutes deux à l’enveloppe sur laquelle se trouve la caractéristique, appartiennent aussi à cette courbe: ainsi on a, pour la caractéristique, les quatre équations aux différences ordinaires (B), (E), (G), (H).
XIITI.
Les quatre équations aux différences ordinaires que nous venons de trouver pour la caractéristique sont entre les cinq différentielles dp, dq, dx, dy, dz. On peut donc éliminer entre elles trois quel-
Lt
conques de ces différentielles, et l’on aura une équation qui ne contiendra que les deux autres, ce qui produit les dix résultats
suivants : LE Pdy — Qdx — 0, D: Pdz — (Pp + Qq) dx — 0, se Qdz — (Pp + Qgq) dy — 0, 4° Pdp + (X + pZ)dx=o, be Qdp+ (X + pL) dy = 0, 6° Pdg + (Y + qZ) dx = 0, 7e Qdg + (Y + q2) dy — 0, 8° (Pp + Qgq) dp + (X + pZ) dz — 0, 9° (Pp + Qg)dg + (Y + g2)dz—o 10°. (X + pl) dg —(Y + q2) dp = 0.
Ces dix équations, qui appartiennent toutes à la caractéristique, nous seront utiles par la suite ; mais il faut bien se rappeler qu'elles ne sont point indépendantes, et qu’elles ne disent pas plus que les quatre équations (B), (E), (G), (H), dont elles sont une suite nécessaire.
On peut former les dix équations précédentes d’une manière commode ; car les cinq quantités
étant disposées, comme on voit, en deux cases, la somme de deux quelconques de ces quantités, égalée à zéro, avec le signe — si elles sont prises dans la même case, et avec le signe + si elles sont prises dans des cases différentes, produira une des dix équations de la caractéristique.
LÉ
