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Il peut se présenter deux cas : ou l'équation aux différences partielles est linéaire en p, 4, ou elle ne l’est pas; le premier de ces deux cas étant plus simple à traiter, nous allons d’abord nous en

OCCUPET.

Soit done proposée l'équation linéaire générale Pp + Qgq = L,

dans laquelle les trois coefficients L, P, Q soient donnés d’une manière quelconque en x, y, z. Les trois premières équations de la caractéristique, qui sont dans ce cas les seules nécessaires, deviennent

Pdy — Qdx — 0,

Pis, ="Luri10:

Qdz — Ldy = 0.

Elles appartiennent aux projections de la caractéristique sur les trois plans des coordonnées ; ainsi, deux quelconques d’entre elles comportent la troisième. Il suffira donc d’en considérer deux, par exemple les deux dernières.

Supposons d’abord que ces équations soient toutes deux intésrables, et que leurs intégrales soient représentées par

Me Ne;

dans lesquelles « et B soient les deux constantes arbitraires introduites par les intégrations. Dans cet état, ces deux intégrales appartiennent à toutes les caractéristiques possibles qui peuvent se trouver sur toutes les enveloppes possibles auxquelles apparüent l'équation aux différences partielles, c’est-à-dire que, de toutes les caractéristiques possibles dont le nombre est infini du second ordre, il n’y en a aucune dont les deux intégrales ne puissent devenir les équations propres, si l'on donne à chacune des deux constantes arbitraires «, 5 une valeur déterminée convenable.

Mais si lon n’a pas pour objet de considérer à la fois toutes ces caractéristiques , si l’on se propose seulement d’en considérer une certaine série, et si l’on veut que toutes celles qui composent cette série soient liées entre elles par une loi, en sorte que l’on ne puisse passer d’une quelconque à la suivante que d’une manière déteriminée, alors les constantes «, 8 ne sont plus toutes deux arbitraires; l’une quelconque étant prise arbitrairement, l’autre s’ensuit nécessairement : la seconde est donc une certaine fonction de la première, et la forme de cette fonction dépend de la loi qui lie entre elles toutes les caractéristiques de Ja série. Eri représentant par @ la forme de la fonction dont il s’agit, les équations TPE, qui deviennent alors

M4 N = fx,

n’appartiennent plus à toutes les caractéristiques, mais seulement à celles de ces courbes qui sont comprises dans la série déterminée par la forme de la fonction 9; et, dans cette série, chaque caractéristique individuelle sera déterminée par la valeur particulière de la constante arbitraire «.

Done, si l’on suppose qu’une quelconque des caractéristiques de la série soit rendue mobile et variablé de forme en vertu de la variation de «, cette courbe, dans son mouvement, se confondra

— fo — ,

successivenient avec toutes les autres de la même série; elle ensendrera leur lieu général, qui ne sera autre chose qu'une des enveloppes auxquelles appartient l’équation aux différences partielles; et l’on aura l’équation unique de cette enveloppe, ou de ce lieu général, en éliminant « entre les deux équations précédentes, ee qui donnera

N — çM.

Dans cette équation, c’est la forme seule de la fonction.ç qui déter-

. JR . .\ vire Gi ?

mine la série particulière des caractéristiques, dont l’enveloppe est le lieu général; en sorte que si l’on change de série, et par conséquent d’enveloppe, rien ne change dans l’équation que la forme de la fonction +. Done, si l’on regarde la fonction g comme arbitraire, l'équation précédente appartiendra au lieu général de chacune des séries possibles, c’est-à-dire à chacune des enveloppes possibles ; elle sera, par conséquent, l'intégrale complète de l’équation aux différences partielles.

Dans l’article précédent, nous avons supposé.que les équations aux différences ordinaires de la caractéristique

Bus Dore 0 Qdz — Ldy = 0,

étaient toutes deux intégrables : elles ne peuvent l’être immédiatement que dans des cas très-particuliers, parce que chacune d’elles contient une des trois variables sans sa différentielle ; néanmoins leurs intégrations ne dépendent que de celle d’une seule équation aux différences ordinaires à deux variables.

En effet, puisque ces deux équations appartiennent à une courbe, des trois variables +, y, z, on ne peut en considérer qu’une seule