NAS

comme variable principale; posons que ce soit z, et regardons

comme constante la différentielle dz. Cela posé, de ces deux équations, la première

(A) est en L, V2 T°?

la seconde

| dy.

(B) est en MEET

différentiant aux différences ordinaires l’une quelconque d’entre elles, (A) par exemple, on aura une troisième équation

PÉR Ee ER, RC APT LE r PRET Le

. 14 . 19° . . / dy Si, de ces deux équations, on élimine les deux quantités y et +;

on aura une équation

HE 10 (D) en D, 2; 7) IS?

qui appartiendra à toutes les caractéristiques possibles, qui sera aux différences secondes ordinaires à deux variables, et de l'intégration de laquelle seule dépend celle de l'équation aux différences partielles ; car, si l’on intègre cette équation deux fois aux différences premières, et si l’on complète chacune de ses intégrales par une constante arbitraire particulière, on aura deux équations : l’une

(E) en RES D a; l’autre | AT (F) en X, 7, ES 6,

desquelles chassant 7; au moyen de (A), on aura pour la caracté-

ET ue

ristique, deux équations intégrales : l’une

(G) en ANA (03:

l’autre (H) en L, Ÿ; Z; B;

qui, résolues chacune par rapport à la constante arbitraire qu'elle contient, deviendront

MEET NE 7x:

Raisonnant ensuite sur ces deux équations, comme nous avons fait sur celles de l’article précédent, l'intégrale complète de l’équation

aux différences partielles sera

Donc l'intégration d’une équation aux différences partielles du premier ordre et linéaire ne dépend que de celle d’une seule équation aux différences ordinaires à deux variables du second ordre, dans laquelle la différentielle d’une des deux variables est regardée

comme constante.

X VI

Il faut bien observer qu’il n’est pas nécessaire qu'une équation aux différences partielles soit sous la forme Pp + Qg = L pour être regardée comme linéaire; il suffit qu’en supposant la perfection de l'analyse, elle soit susceptible d’y être ramenée. Ainsi, pour donner à ce que nous venons de dire dans l’article précédent toute la généralité convenable, il faut regarder comme linéaire toute équation composée d’une manière quelconque des quatre quantités Pp + Qg, x, y, 3, c’est-à-dire de la forme

F(Pp + Qg, x, 7,2) = 0,

dans laquelle P et Q ne contiennent ni p ni q.

X NaLES

Si l'équation linéaire Pp + Qg = L manque d’un terme, c'està-dire si l’une des trois quantités L, P, Q est égale à zéro, l’intégration ne dépend plus que de celle d’une équation aux différences ordinaires à deux variables du premier ordre. Par exemple,

si l'on a L — 0, c’est-à-dire si la proposée est Pp + Qg = 0, les deux équations de la caractéristique deviennent Pdy — Qdx — 0, HAN:

l'intégrale de la seconde z — x exprime que pour la même caractéristique, z est constante, et que cette courbe est dans un plan perpendiculaire aux z : mettant donc dans la première pour z sa valeur constante x, cette équation sera en

d TVA

et, par conséquent, du premier ordre entre les deux variables x, y ; son intégrale sera en

Xl, V4, Da,

gx étant la constante arbitraire introduite par l'intégration, et il n’y aura plus qu’à mettre à la place de x sa valeur z, pour avoir l’équation de la surface, équation qui sera, par conséquent, en

M, ir, CT:

Il en est de même pour le cas où l’on a

Pé=iottoutQi=:o;