ESPACES

et l’on trouve que l’intégrale est, dans le premier cas, en

TL, Vs 7; PX ; dans le second cas, en

l'y Vo 7 PY..

Il suit de ce qui précède, que la surface courbe à laquelle appartient l'équation aux différences partielles du premier ordre et linéaire

F{Pp + Qg,x,y,2}= 0,

de quelque manière que les quantités P, Q soient composées des

trois coordonnées x, y, z, peut toujours être regardée comme en-

sendrée par le mouvement d’une courbe déterminée, mobile et variable de forme en vertu de la variation de deux paramètres, dont l’un est une fonction arbitraire de l’autre, et dans les équations de laquelle les dérivées de cette fonction arbitraire n’entrent pas. Dans ce cas, l’intégrale est exprimée par une seule équation.

Il est facile de démontrer que, réciproquement, lorsqu'une surface est engendrée par le mouvement d’une courbe déterminée,

mobile et variable de forme en vertu de la variation de deux para-

mètres, dont l’un est une fonction arbitraire de l’autre, pourvu que les dérivées de cette fonction n’entrent pas dans les équations

e la génératrice, l’équation aux différences partielles de cette surde la g trice, l’équatio différences partielles de cett

face est toujours linéaire en p, q, c’est-à-dire de la forme F tPp + Qgery; 2} 0"

Ainsi, les surfaces auxquelles appartiennent les équations aux différences partielles du premier ordre et linéaires ont un caractère particulier. Quoiqu’on puisse les considérer comme des enve-

NI PAUEE

loppes, elles sont néanmoins susceptibles d’une génération plus simple, et pour chacune d’elles l'équation intégrale est unique ; tandis que, pour les surfaces exprimées par des équations dans lesquelles p et 4 sont élevées à des puissances, les intégrales sont toujours exprimées par le système de deux équations entre lesquelles il faut éliminer un paramètre « qui se trouve sous la fonction arbitraire et sous ses dérivées.

Passons actuellement au cas général.

Dans le cas général, c’est-à-dire lorsque l'équation aux différences partielles n’est pas de la forme

F {Pp + Qg, x, 7, z} = 0,

il ne suffit pas de considérer seulement les trois premières équations

de l’art. XIIT:

Fo Pdy — Qdx — 0, D: Pdz — (Pp + Qq)dx — 0, D Qdz — (Pp + Qg) dy = 0,

qui sont celles des projections de la caractéristique sur les trois plans des coordonnées, parce que la surface ne peut plus être considérée comme engendrée par une courbe dont les équations intégrales soient en x, y, z, «, @a, sans dérivées, et qui soit mobile en vertu de la variation de x. La surface doit être regardée comme enveloppe; il faut donc employer l'équation d’une enveloppée. Mais les sept autres équations de l’art. XIII sont celles d’autant d’enveloppées différentes au moyen desquelles on peut, à volonté, en former une infinité d’autres; et, de toutes ces enveloppées, celle

ARE

à laquelle appartient l’équation TO (X + pZ) dq — (Y + qL) dp = 0

est l’enveloppée développable dont la génération est simple et la considération facile ; c’est donc celle que nous allons employer.

Autrement, lorsque les quantités P, Q qui entrent dans les trois équations des projections de la caractéristique contiennent les cinq quantités p, q, æ, Y, z, ces trois équations ne peuvent suffire ; parce que, si l’on opère sur deux quelconques d’entre elles, comme nous avons fait art. X VII, c’est-à-dire si on les différentie aux différences ordinaires, ce qui donne deux équations nouvelles, on introduit aussi les deux différentielles nouvelles dp, dq, qu'on ne peut éliminer qu’en prenant leurs valeurs dans les sept autres équations qui les contiennent.

On sait que l'équation générale des surfaces développables est entre les deux seules quantités p, 4, dont par conséquent une seule peut être regardée comme variable principale; posons que ce soit p, et que sa différentielle dp soit regardée comme constante. Cela

posé, soit

(À) Rp: qd; T, Vs z) — O

l'équation générale aux différences partielles du premier ordre qu'il s’agit d'intégrer; puis, parmi les dix équations de la caractéristique, considérons les quatre qui contiennent dp, savoir :

ne À [x

La quatrième (B), qui est en T° DOTE INR Es RUE : dy |

à emquième (GC), qui est en nn MORT VE:

LA LES D ta dz < LRET Me à huitième (D), qui est en ° PORT Vers £ à 040 : dq |

Et la dixième (E), qui est en AR BN ON) Ds PNR

— fäz — Si l’on différentie (E) aux différences ordinaires, l'équation à la-

quelle on arrive directement sera en

dif CAT ALP PIE , , fe dp°° dp° dp° dp’ dp° Pas LT 22.

dx dy dz dp”? dp : dp équations (B), (C), (D), on aura une équation aux différences ordi-

et, en substituant pour leurs valeurs tirées des trois

naires du second ordre

ddg d (F) en et D PDU MC 3 les I

dx ‘dy wdz y

dp dp? dp <

Différentiant encore cette dernière, et mettant pour

leurs valeurs, on aura une équation aux différences du troisième

ordre

d'a. ddg'®t d, (G) en D PA a P; XX; Jr 7.

On aura alors quatre équations (A), (E), (F), (G), qui seront délivrées des différentielles des trois coordonnées x, y, z; done, éliminant æ, y, z'entre ces quatre équations, la résultante

Se. à ;

d°q ddq dq dp*° dp°? dp”? P q;

(H) sera en

et, par conséquent, aux différences ordinaires du troisième ordre entre les deux variables p, q. Cette équation (H), dans laquelle la nn, . . , différentielle de la variable p est regardée comme constante, appartient à l’enveloppée développable, et de son intégration seule dé- VA

pend celle de la proposée.

Posons, en effet, que cette équation soit intégrée trois fois aux différences secondes, et que ces intégrales, complétées chacune par