MODE

En général, la proposée (A) n’est autre chose que l'expression

d’une relation qui existe entre les valeurs des trois quantités «,

ga, dx. Si donc entre les quatre équations (A), (7), (K’), (L”), on élimine trois des cinq quantités p, q, æ, y, z, les deux autres disparaissent, et il reste en x, @x, Ja une équation qui exprime cette relation, et qui a pour objet de déterminer la forme d’une des deux fonctions, dont il n’y aura plus qu’une seule qui soit arbitraire. Posons que ce soit x que l’on détermine, et dont on substitue la valeur en &, @x dans (L/) : si des trois équations (J”), (K”), (L°) on élimine p, q, l'équation résultante, qui sera en x, y, z, «, Qu, sera celle de l’enveloppée développable mobile en vertu de la variation de x, et qui, dans toutes ses positions, touchera l'enveloppe dans la caractéristique. Donc, si cette équation est représentée par M—o, le résultat de l’élimination de x entre les deux équations

MÉE= O, aMES

da

sera l'intégrale de la proposée, complétée par la fonction arbitraire ©.

On voit que l’intégration d’une équation quelconque aux différences partielles du premier ordre et à trois variables ne dépend que de celle d’une équation aux différences ordinaires à deux

variables du troisième ordre, et dans laquelle la différentielle d’une.

des variables est regardée comme constante. Mais les méthodes aussi générales que celles que nous venons de rapporter sont rarement utiles, à cause des longueurs et des difficultés analytiques

qu'elles entraînent, et elles ne dispensent pas des méthodes appli-«

cables à des cas moins généraux. On peut en trouver un plus grand nombre ; nous n’en rapporterons que quelques-unes, qui serviront d'exemples.