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XXe

Des surfaces dont les enveloppées développables sont cylindriques et parallèles à un plan donné.

Soient Ax + By + z— o l'équation du plan fixe mené par l’origine, auquel les surfaces cylindriques doivent être parallèles ; soit y + «x — o celle de la projection sur le plan des x, y de la droite à laquelle, dans chaque surface cylindrique, la génératrice doit être parallèle : il est facile de voir que l’équation intégrale de la surface cylindrique est

Az + By+z—œp{(y+ax), et que son équation aux différences partielles est p+A=a(g+B),

dans laquelle A, B sont les constantes invariables du plan fixe, et où x, qui est une constante pour chacune des surfaces cylindriques, change de valeur d’une de ces surfaces à l’autre. Si donc on veut avoir une équation qui convienne à toutes les surfaces cylindriques parallèles au plan fixe, 1l faut faire disparaître cette constante arbitraire par une différentiation aux différences ordinaires, ce qui

donnera

(p + À) dq — (q + B) dp — 0;

or nous avons vu (art. XII) que l'équation de l’enveloppée déve-

loppable est (X + pZ) dq — (Y + q2) dp = 0.

Donc, pour que cette enveloppée soit cylindrique et parallèle au

plan fixe, il faut que les valeurs de ER que fournissent les deux P

RU dernières équations, soient égales entre elles, ou que l’on ait X (4+ B) — Y(p+ A)+Z(Bp — Ag) — 0!

mais, en représentant l'équation aux différences partielles de l’enveloppe par U — o, il est clair que les trois quantités X, Y, Z sont

respecti t ( cat ‘ae 25 dans lesquelles on a re- Spec vemen dx , dy , NS , d q € |

gardé p et 4j comme constantes. La dernière équation est donc aux différences partielles du premier ordre entre les quatre variables U, +, Y, 3, dont les trois dernières sont principales. Comme cette équation est linéaire et à coefficients constants, elle est facile à traiter, et elle exprime que la quantité U doit être composée d’une manière quelconque des deux quantités Ax + By + z et z — px — qy, et des quantités p, g, qui sont constantes dans cette équation. Donc l'équation générale des surfaces dont l’enveloppée développable est cylindrique et parallèle à un plan fixe, est

(A) F { Ax + By + z, Z— PX — 4, Pr} = 0:

Il est facile de vérifier ce résultat ; car, si l’on différentie aux différences ordinaires, on trouve pour X, Ÿ, Z les valeurs suivantes :

X — AF'— pF”, Y — BF’ — q4F”, L=RTIREES ce qui donne X + pL=— {(p + A)F", Y + gqg2=—(qg+B)F; et, par conséquent, l’équation de l’enveloppée développable

(X + pZ) dq — (Y + q1) dp — 0

devient (p + À) dq — (q + B) dp — 0, qui est celle d’une surface cylindrique parallèle au plan fixe.

Actuellement, nous allons voir que l'intégration de l’équation (A), de quelque manière qu’elle soit composée des quatre quantités, ne dépend plus que de celle d’une seule équation aux différences ordinaires à deux variables. En effet, l'équation de l’enveloppée développable

(p + A) dg — (q + B) dp = 0 s'intègre et donne g+B=a(p+A),

dans laquelle x est la constante arbitraire : si, de cette équation et de dz — pdx + qdy, on tire les valeurs de p, q, en faisant, pour

abréger, Ax + By + z —u, XL + AY —V, on trouve "du LUCE Se ee 1 dr :

udy — vdu.

er LP DE End RAT

. substituant ces valeurs dans la proposée (A), elle devient

udv—vdu du du F U, TNT ANR + eo a T—B\—o,

équation aux différences ordinaires du premier ordre, entre les deux seules variables w, v, dans laquelle + est constante, et qui

ri: TO

appartient à l’enveloppée développable. L'intégrale de cette équation, complétée par une fonction arbitraire @x, sera en

U, ÿ, X, PX ;

donc, si l’on représente cette équation par M — 0, l'intégrale de la proposée (A) sera le résultat de l’élimination de x entre les deux

équations NET dM #6 (2.

L'équation F |A + By + 3, z— px — qY, p, q} 0:1que nous venons de traiter, est un peu plus générale que nous ne l'avons dit; car elle ne convient pas seulement aux surfaces dont l’'enveloppée développable est cylindrique et parallèle au plan fixe, mais encore à celles qui n’ont pas d’autre enveloppée développable qu'’ellesmèêmes, c’est-à-dire aux surfaces développables dont l’équation est

Ffz— pa — y, p,q} = 0.

La même équation générale renferme une grande partie de celles que M. Lagrange a traitées dans son bel ouvrage sur les intégrales particulières, imprimé dans les Mémoires de l’Académie de Berlin, pour l’année 1774.

Par exemple, si la quantité z— px — qy n’entre pas dans l’équation, et si l’on a de plus À —o, B— o, ce qui place le plan fixe dans celui des x, y, l'équation devient

FC PNY 0)

que M. Lagrange intègre au moyen de l’hypothèse 4 — 4p. Dans

2 “ol

ce cas, l'enveloppée développable a pour équation pdgq — qdp =,

dont l'intégrale 4 — xp appartient à une surface cylindrique parallèle au plan des x, y, et est fournie par la méthode.

Si l'équation générale est seulement privée de la quantité z— px — qY, elle devient

F {Ar + By +2, Digi 10

qui renferme l'exemple précédent comme un cas particulier, et qui (comme nous l'avons fait voir S IX, page 430) appartient à la surface dont l’enveloppée, invariable de forme et de grandeur, se meut sans tourner, de manière que les courbes parcourues par tous ses points soient semblables entre elles, égales, et dans des plans parallèles au plan fixe : dans ce cas, l'intégrale donnée par la méthode n’est pas la plus élégante, et l’on parvient à un résultat plus simple, et plus facile à se représenter dans l’espace, en employant l'équation de l’enveloppée invariable.

On pourrait traiter d’une manière analogue l’équation générale des surfaces dont l’enveloppée développable est cylindrique et dirigée d’une manière quelconque ; mais cette équation est aux différences partielles du second ordre, dont nous ne nous occupons pas encore.