XXIIL

Des surfaces dont. les enveloppées développables sont coniques, et ont toutes leurs sommets sur une méme droite donnée.

On sait que si les coordonnées d’un point, dans les directions des x, y, z, sont respectivement B, y, «, l'équation aux différences partielles de la surface conique, qui a son sommet dans ce point, est

(A) za —=p{x—$) +q(yr— y).

Supposons que la droite donnée sur laquelle doit être le sommet ait pour équation x—Az+a, y —Bz+pb,

dans lesquelles À, B, a, b sont des constantes données. Ces mêmes

équations auront lieu entre les coordonnées du sommet, et l’on aura B — Aa + a, y = Ba + D.

Si l’on substitue ces valeurs, l'équation de la surface conique sera Gr 1 eme) om AN Arret Pen A np me ©

ans laquelle + est une constante arbitrair oré ir déterdans laquell t nstante arbitraire dont la grandeur déter mine, sur la droite donnée, la position du sommet.

Des trois dernières équations on tire, pour «, B, y, les valeurs

suivantes :

pie dojo e)

1— Ap — Bg RATE Pierre) I) PR D ES DO set A Cm mt Le rs EE 1 — Ap — Bq + 6,

valeurs qui sont constantes pour la même enveloppée conique. Actuellement, si l’on différentie l'équation (A) en regardant 7, 5, y comme constantes, on aura

(Y — y) dg + (x +f)dp — 0, qui est l'équation aux différences ordinaires de toutes les surfaces coniques qui ont leur sommet sur la droite donnée, et dans laquelle

il n’y aura plus qu’à mettre pour B, y leurs valeurs. Or l'équation générale de l’enveloppée développable est

(x + pl) dq — (Y + qZ)dp = 0;

céniil

M — donc, pour que cette enveloppée développable soit conique et ait

son sommet sur la droite donnée, il faut que les deux dernières équations coïincident, c'est-à-dire que l’on ait

Mais en représentant par U — o l’équation aux différences partielles de l'enveloppe, il est évident que la dernière équation est aux différences partielles du premier ordre, entre les quatre variables Ü, x, y, z, et qu'on y traite les quantités p et 4 comme constantes; il est clair aussi que les quantités «, B, y sont constantes, car les différentielles de ces quantités, prises en regardant p et 4 comme constantes, sont toutes trois nulles. Prenant donc dans cette équation la valeur de Z, pour la substituer dans

dU = Xdx + Ydy + Zdz,

ce qui donne

CARE Xd(2—) 2 va(2=1),

oem doi 2.5 PS (A GE 0’

on voit que U doit être composée, d’une manière quelconque, des

deux quantités Ps Fe et Z — ©.

et des deux quantités p et q, qui ont

été regardées comme constantes. Ainsi l'équation générale des surfaces, dont l’enveloppée développable est conique, et a son sommet sur la droite donnée, est de la forme

XX — mr) F B “He à

, ÔÜ +0) Bi NZ 02 NT ë

dans laquelle il faut remettre pour x, B, y leurs valeurs données plus haut; ou enfin, pour ne laisser qu’une seule quantité à substituer, cette équation est de la forme

dans laquelle il faut mettre pour & sa valeur

mn pie 0) 4\fa P) fe #- 1 — Àp — Bq

Cela posé, il est facile de faire voir que l'intégration de l’équation (B) ne dépend que de celle d’une équation aux différences ordinaires du premier ordre entre deux variables. En effet, l’équation (C), qui n’est autre chose que celle de l’enveloppée conique,

dans laquelle x est une constante arbitraire, peut être mise sous la

forme suivante :

pix—a—Aal+ qg(y —b— Ba) = 2— a;

ou en faisant, pour abréger,

Le ae pi Dz ne ie np md LL) à

Bi Œ PE dame 2 l'équation de l’enveloppée conique sera pu + g = 1.

Tirant de cette équation et de pdx + qdy = dz les valeurs de p et de g, on a

p{udy — vdx) — dy — vdz,

q (udy — vdx) = — dx + udz, ou bien Fm dv AT udv — vdu — du de udy —vdu

Donc, substituant toutes ces valeurs dans la proposée

(B), elle

Dr.

deviendra de la forme suivante :

F u v dv — du FR o ? “2? udv—vdu udv—vdul — ?

équation aux différences ordinaires du premier ordre entre les deux seules variables w, », et dans laquelle + est constante.

L'intégrale de cette équation, complétée par une fonction arbitraire de x, sera en

u, y, PX,

ou en

x a — Aa 271

et appartiendra à l’enveloppée conique. Donc, si l’on représente cette équation par M — 0, l'intégrale complète de la proposée (B) sera le résultat de l'élimination de x entre les deux équations

M — O, Pur ne ( da 74 NE

On pourrait traiter d’une manière analogue l'équation générale des surfaces dont l’enveloppée développable est conique. Mais alors les sommets des cônes ne seraient plus assujettis à être sur une droite; ils seraient sur une courbe arbitraire : les deux coordonnées B, y seraient des fonctions arbitraires de x, et l’équation de l'enveloppe serait aux différences partielles du troisième ordre.

Dans ce cas est comprise l'enveloppe de l’espace parcouru par une surface quelconque donnée, qui se meut sans tourner, mais

qui change de forme en restant toujours semblable à elle-même.

XX Le

En ne considérant, parmi les dix équations de la caractéristique rapportées art. XIII, nt la huitième ni la neuvième, toutes les Jois qu'une quelconque des huit autres sera intégrable, ou immédiatement, ou au moyen de la proposée, l'intégration de cette dernière ne dépendra plus que de celle d'une seule équation aux différences ordinaires du premier ordre a deux variables.

Nous allons le démontrer pour le cas de la dixième équation, à cause de l’analogie avec les articles précédents.

Supposons qu'une équation quelconque aux différences partelles du premier ordre, U — 0, soit telle, que l'équation

(A) (X + pZ)dg — (Y + qL)dp = 0

soit intégrable directement, ou au moyen de U — o, et que cette intégrale soit représentée par

(B) S(ps 4 a) =,

dans laquelle x est la constante arbitraire introduite par cette première intégration, et que l’on ait, par conséquent,

par cela seul, la quantité U est susceptible d’une forme générale qu'il faut trouver.

LT d : s Il est évident que les valeurs de . que fournissent les deux

équations (A), (C), doivent être égales entre elles; ce qui donne XS'+ VS" + Z(pf' + qf") = 0.

Or cette dernière équation, dans laquelle p, q, x sont regardées

SA TE comme constantes, est aux différences partielles entre les quatre variables U, x, y, z. Si donc on prend la valeur de Z pour la substituer dans

dU = Xdx + Ydy + Zdz,

on aura

(2f + qf")dU = X[(pf° + q/f") dx — f'dr] UN UE dia ide],

dans laquelle p, 4, « sont constantes, et qui indique que la quantité U doit être composée, d’une manière quelconque, des deux suivantes : (2 + g/")æ — 2f", (pf'+ qf')x — 2f", et de P; g; qui sont regardées comme constantes.

On aura donc

D=rir(pft + qf") —2f", r(pf+af")—2f", p, 4h ou, ce qui revient au même, U—F{2—px— y, af" —yf", p, q} et, par conséquent, la proposée U — o est susceptible d’être mise sous la forme (D) F{z— px — qy, af" —yf", p, 4} —0,

dans laquelle les fonctions dérivées f”, f” sont données en p, 4, et contiennent, de plus, la constante x, qui peut être chassée au moyen de (B). Il est inutile de former cette équation (D); il suffit d’avoir démontré qu’elle doit avoir lieu.

Cela posé, l'équation (B), qui appartient à l’'enveloppée développable, est elle-même aux différences partielles; elle est facile à intégrer, et l’on sait que pour avoir son intégrale il faut, 1° poser

(E) z — px — qÿ = Ÿp;

2° chasser 4 au moyen de sa valeur prise dans (B); 3° éliminer p au moyen de la différentielle de (E), prise en regardant +, y, z comme constantes, c’est-à-dire au moyen de

— xdp — ydq = \'pdp, qui, en mettant pour dq sa valeur prise dans (C), devient (F eff SN.

Ainsi l’équation intégrale de l’enveloppée développable est le résultat de l’élimination des deux quantités p, g entre les trois équations (B), (E), (F); et si la fonction 4, qui entre avec sa dérivée dans les équations, est regardée comme arbitraire, l'intégrale appartient à l’enveloppée développable générale.

Mais si l’on veut que cette enveloppée soit celle qui convient particulièrement à la surface exprimée par U — 0, il faut déterminer la forme de la fonction 4 de manière que la proposée U—o, ou, ce qui revient au même, que l'équation (D) soit satisfaite.

Or, si dans (D) on mettait

pour z—px—qy sa valeur Jp, tirée de (E), pour xf"—7Yyf sa valeur f”{/p, tirée de (F),

et pour g sa valeur en p, tirée de (B),

il ne resterait plus que x, p, dp, d'p. Donc, sans former l’équation (D), il sera toujours possible, entre les quatre équations U—o, (B), (E), (F), d'éliminer les quatre quantités q, x, y, z; et l’on aura un résultat

(G) en a; pP; dp, N'p,

qui sera, aux différences ordinaires du premier ordre, entre les

deux variables p, 4p, dans lequel z est constante, et qui servira à déterminer la forme de la fonction ‘|.

Posons que cette équation (G) soit intégrée, et que son intéorale, complétée par une fonction arbitraire de x, soit

(H) en &; Ps NP; Pa.

Cela fait, si entre les cinq équations (B), (E), (F), (G), (H) on élimine les quatre quantités p, qg, dp, d'p, on aura en

Xl, Ÿ Z, X; pa

l'équation intégrale de l’enveloppée développable. Ainsi, et en représentant cette intégrale par M — o, l'intégrale de la proposée U—= 0 sera le résultat de l'élimination de x entre les deux équations

XX V

En raisonnant d’une manière analogue pour les sept autres équations de la caractéristique, on démontre que la proposition énoncée au commencement de l’article précédent a lieu pour chacune d'elles. Nous n’entrerons pas dans ce détail, et nous nous contenterons d’en rapporter les résultats.

1°. Si l'équation Pdy — Qdx— 0 est intégrable directement ou au moyen de la proposée U — 0, et si l’intégrale connue est représentée par

(B) TAURE x) NO:

dans laquelle + est la constante arbitraire, la proposée sera susceptible de la forme

(D) DDR, V7) — 0;

DEN BA QE on fera

(E) z — +, (F) PF" — 4f = ÎTY.

Entre la proposée U — o et les trois équations (B), (E), (F),1l sera toujours possible d'éliminer les quatre quantités p, q, y, z, et la résultante sera

(G) en RTE TT VA dont l’intégrale (H) sera en ACCES PAUL

et déterminera la forme de la fonction 4. Mettant pour dx sa valeur z, cette, dernière équation sera

(K) en | LT AT DO

Cela fait, des équations (B), (K) on tirera les valeurs de x et @; et si l’on représente ces valeurs par |

x — M, px — Ne l'intégrale complète de la proposée U — o sera

. Si l'équation (Pp + Qgq)dx — pdz — o est ESS et si son Len connue est représentée par

(B) PAPE A AT la proposée U — o sera susceptible de la forme