SECONDE MANIÈRE, D'APRÈS LE MOUVEMENT DE LA DROITE GENÉRATRICE

>. La génératrice devant être toujours parallèle à la droite donnée, aura pour équations

: HO NEC es D (F) y = 0: +6,

dans lesquelles les quantités «, b sont constantes, quelle que soit la position de la génératrice, mais dans lesquelles 4 et f, qui sont constantes pour une même position de la génératrice, varient lorsque la génératrice passe d’une position à une autre. Aïnsi pour toute surface cylindrique, lorsque le point que l’on considère change de position sur la surface sans quitter la même droite génératrice, les deux quantités «, B, ou celles-ci, x — az, y = bz, qui leur sont respectivement égales, sont toutes deux constantes : et lorsque le point se meut de manière qu’il passe d’une position de la génératrice à une autre, ces quantités varient toutes deux.

Ces deux quantités sont done constantes ensemble ; donc elles sont fonctions l’une de l’autre; donc l'équation générale des surfaces cylindriques est

y — bz—= {x — az),

dans laquelle le signe @ indique une fonction quelconque de la quantité æ — az.

La forme de cette fonction, ‘c’est-à-dire la manière dont la quantité x — az entre dans le second membre de l'équation, dépend de la nature de la courbe qui dirige le mouvement de la droite génératrice. Cette forme est ou n’est pas susceptible d’être exprimée analytiquement, suivant que la courbe est ou n’est pas soumise à la loi de continuité.

Il suit de là que les équations de la droite génératrice seront

TX — Az — 4,

Y — bz = pa,

a étant la quantité qui particularise la position de cette droite.

Trouver l'équation d'une surface cylindrique, connaissant la direction de la génératrice et les équations de la courbe à

double courbure qui dirige son mouvement.

3. Il est évident que la question consiste à déterminer dans l'équation générale, des surfaces cylindriques la forme de la fonction ®, de manière que cette équation devienne celle de la surface individuelle, que l’on considère. Soient représentées par F(x, y, z) =0 et f(x, y, z) — o les deux équations données de la courbe à double courbure, dans lesquelles les signes F, f indiquent des fonctions connues des trois quantités x, y, z.

————… 9 mm La génératrice devant, dans toutes ses positions, passer par la courbe donnée, il faut que les quatre équations

F (ag JE 2) — O, ÉRÉRRNES )=0)

dl (ls —

Y — 0z —Qu,

aient lieu en même temps, quelle que soit la valeur de «. Done, si l’on élimine entre ces quatre équations les trois quantités x, y, z, on aura en & et @« une équation que nous représenterons par f(x, ®x) — 0, et qui déterminera la valeur de gx en x, c'est-àdire la forme de la fonction +, ou la manière dont elle est composée de la quantité sous le signe.

Remettant pour « et ga leurs valeurs, l'équation de la surface cylindrique individuelle demandée sera

f(x — az, y —bz) —o,

dans laquelle la forme de la fonction f est la même que celle de l'équation précédente en # et gx.

Connaissant la direction de la génératrice, trouver l'équation de la

surface cylindrique qui enveloppe une surface courbe donnée. lindriq q lopp be donné

4. La surface cylindrique demandée et la surface donnée se touchent en une courbe à double courbure, dont il suffit de déterminer les équations ; car la surface cylindrique devant passer par cette courbe, la question est alors réduite à la précédente. Or, pour tous les points de cette courbe, le plan tangent à la surface donnée doit coïincider avec le plan tangent à la surface cylindrique.

2 RER Pot

Soit donc F(x, 7,2) —o l'équation de la surface donnée; si, après en avoir tiré par la différentiation les valeurs de (%) et (5) ; on les substitue dans l'équation différentielle des surfaces cylin-

, dz dz . , .

driques a(—)+b({-—)— 1, on obtiendra en +, y, z une équadx dy

tion que nous représenterons par f(x,y,Zz) — 0, et qui appartiendra à la courbe de contact; et parce que cette courbe est aussi sur la surface donnée, il s'ensuit que ses deux équations seront

OPEN FX, Y, 7) —0; donc, traitant ces deux équations comme dans le cas précédent, l'équation f(x — az, y — bz) — 0, qu'on obtiendra, sera celle de la surface cylindrique individuelle demandée.

Supposons qu'ayant différentié l'équation de la surface donnée,

on ait

X dx + Ydy + Zdz = 0;

CE x AS LT à A) be

substituant ces valeurs dans l’équation différentielle des surfaces

ce qui donne

cylindriques, on a