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FOI GAME 5) | P Vi + tp dl ?

et l’on opérera comme dans le cas précédent.

= HO0mSe 4°. Les deux équations de la caractéristique | Pdp + (X + pZ) dx = 0, Qdq + (Y + q2) dy = 0

appartiennent à la même enveloppée dont l'équation intégrale est

de la forme générale

et dont les deux équations aux différences partielles sont

DSL EU AT

Done, si la première de ces deux équations de la caractéristique peut, au moyen de la proposée U— 0, être réduite aux deux variables p, x, la seconde sera réductible aux deux variables q, », et réciproquement.

Soient leurs intégrales

p= f(x; a), q =f(y; pa),

dans lesquelles x et px sont les deux constantes arbitraires. L’équation intégrale de l’enveloppée sera

ra AE a) dx + ff(r, pa) dy ;

et si l’on représente cette équation par M — 0, l'intégrale complète de la proposée U — o sera le résultat de l'élimination de x entre dM

les deux équations M— oo et Ta = 0:

5°. Si l'équation de la caractéristique Qdp + (X + pZL) dy = 0

est rendue intégrable au moyen de la proposée U — 0, et si cette

intégrale connue est (B) CDR 0,

dans laquelle + est la constante arbitraire, la proposée sera susCeptible de la forme

® Fil + af", paf + af p,Y} = 0:

on fera

(Ë) paf af" = j'y,

(F) qf'+ af! =S'Y.

Entre les quatre équations U —o, (B), (E), (F), il sera toujours possible d'éliminer les quatre quantités p, q, x, z, et la résultante

sera

(G) en a, Vs Ts V7 | dont l'intégrale

(H) sera en œ, V, AY, Qa.

Cela fait, si entre les cinq équations (B), (E), (F), (G), (H), on élimine les quatre quantités p, q, dy, d'y, on aura en x, y, z, 2, ®z, l'équation intégrale de l'enveloppée; donc, si l’on représente cette équation par M — 0, l'intégrale complète de la proposée

U — 0 sera le résultat de l'élimination de x entre les deux équations