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6°. Ilest évident que si c'était l'équation de la caractéristique

Pdg + (Y + 42) dx — 0

ES Cu

qui fut intégrable directement, ou rendue telle au moyen de la proposée U — o, tout serait comme dans le cas précédent, et changeant pay respectivement en get x.

Les considérations géométriques sur lesquelles nous venons de fonder la recherche des équations de la caractéristique sont familières aux élèves de l’École Polytechnique; mais elles peuvent être pénibles pour d’autres lecteurs, et nous croyons devoir conduire à ces mêmes équations par un procédé purement analytique. Nous allons d’abord le faire pour le cas des équations linéaires; nous

passerons ensuite au cas général.

AXVL

On sait qu'une équation quelconque aux différences partielles de premier ordre appartient à l'enveloppe de l’espace parcouru par une surface donnée, mobile en vertu de la variation d’un paramètre z, et dont l'équation intégrale renferme de plus une fonction arbitraire de z qui a disparu par la différentiation. Mais cette mème équation appartient aussi à chacune des enveloppées qui sont renfermées sous l'enveloppe; car chaque enveloppée est un cas particulier de l'enveloppe : elle est ce que devient l'enveloppe lorsque

le paramètre z est constant.

D’après cela, soit proposée l'équation linéaire générale

dans laquelle les trois coefficients P, Q, L sont donnés d’une manière quelconque en x, y, z: si cette équation, qui ne contient pas « explicitement, peut appartenir à chacune des enveloppées individuelles, il faut bien qu’elle contienne au moins implicitement la quantité #, qui est constante pour chaque enveloppée, et dont les différentes valeurs déterminent chacune d’elles en particulier;

et il n'y à que les quantités p, q qui puissent la contenir. Mais ces deux quantités ne sont point indépendantes ; elles ont entre elles

une relation exprimée par l'équation dz = pdx + qdy,

qui résulte de leur définition. On peut donc, au moyen de cette dernière équation, chasser de la proposée l’une de ces deux quantités, et l’on aura l’une des deux équations suivantes :

(B) p\Pdy = Qdri— Ldy — Qdz,

dont il nous suffira de considérer une seule, la première par exemple.

L’équation (B), dans laquelle p renferme implicitement +, est aux différences ordinaires; elle appartient donc à toutes les enveloppées, pour chacune desquelles l'arbitraire « a une valeur constante, mais différente. Si donc, considérant une certaine enveloppée pour laquelle la constante arbitraire a une certaine valeur z, on passe à l’enveloppée infiniment voisine, pour laquelle l'arbitraire ait la valeur & + da, il est clair que léquation de cette

seconde enveloppée sera

(D) 1e + (dal | Pdy — Qux} = Ldy— Que.

Or la caractéristique de l'enveloppe n’est autre chose que l’intersection de deux enveloppées consécutives; donc les équations (B), (D), quiappartiennent à deux enveloppées consécutives, sont celles de la caractéristique.

Si l’on retranche (B) de (D), on a

Pdys— Q dx = 0,

en vertu de laquelle (D) donne L'dy — Qdz — 0.

Enfin, éliminant dy entre ces deux dernières, on a encore Ldx— Pdz —:0.

Ces trois équations aux différences ordinaires, dont une quelconque est une suite nécessaire des deux autres, sont celles des projections de la caractéristique sur les trois plans rectangulaires, que nous avons traitées dans l’art. XIV et les suivants.

Il est évident que l'opération que nous venons de faire se réduit : à différentier l'équation (B), en regardant Pp comme seule variable:

ce qui donne immédiatement Pdy — Qdx — 0, L dy — Qdz = 0.

Si l’on eut différentié (C), en regardant 4 comme seule variable,

on aurait eu de même Pdy — Qdr— 0, Bgx 2 Pdz =10:

ce qui est le même résultat. Passons maintenant au cas général.

XX VII

Lorsque l'équation aux différences partielles du premier ordre n'est pas linéaire, l'opération que nous venons de faire, et qui consiste à substituer pour l’une des quantités p, q, sa valeur prisé dans dz — pdx -- qgdy, et à différentier ensuite, en regardant

comme seule variable celle des deux quantités qui reste, ne fournit

qu'une seule équation pour la caractéristique, et n’est pas suffisante. Pour avoir les deux équations de cette courbe par une même opération, il faut différentier la proposée une fois aux différences partielles

: Soit proposée l'équation oénérale F PAUI Ie), z | 0:

et supposons que sa différentielle ordinaire soit (A) Pdp + Qdg + X dx + Ydy + Zdz — 0,

dans laquelle ! Z, sont donne HIDE MS DAIA lans laquelle P, Q, X, Y,7Z td es En D, dE D DA différentiation ; ses deux différentielles partielles prises en regardant d’abord x, puis y comme seules variables, seront

(B) Pr + Qs + X + pZ—o, (C) Ps + QE + Y + gZ — 0.

De ces deux équations, il nous suffira d'en considérer une seule, la première par exemple.

L’équation (B), qui est aux différences partielles du second ordre et linéaire, appartient à une surface plus générale que celle de la proposée, et qui a deux caractéristiques : mais de ces deux caractéristiques, l’une lui est commune avec la surface de la proposée, et l’autre est connue; car on sait que cette nouvelle caractéristique a pour équation dy — 0 où y — f. Donc les équations de la première caractéristique de la surface à laquelle appartient l’équation (B), seront aussi celles de la caractéristique de la surface à laquelle appartient la proposée.

En considérant l'équation (B) comme appartenant à l’enveloppée mobile en vertu de la variation d’un paramètre #, les deux quantités 7, s sont les seules qui, en passant d’une enveloppée quelconque à la suivante, soient affectées de la variation de 4 : car,

= fiobesi la caractéristique est l'intersection de deux enveloppées consécutives, elle est aussi une ligne de contact pour ces deux surfaces; et, en passant de l’une à l’autre, les quantités p, q ne changent pas, mais les deux quantités r, s ne sont pas indépendantes; elles sont

liées entre elles par l'équation dp = rdx + sdy,

qui est l'expression de leur définition, et au moyen de laquelle il est facile d'éliminer de (B) l’une quelconque d'entre elles; ce qui

produit l’une des deux équations suivantes :

(D) s{Pdy. Qc} = Pape (KR + pZ)dr ho; (E) r{Pdy—Qdx} + {Qdp+(X + pZ)dy} —o, dont chacune appartient à une enveloppée mobile, et ne contient qu'une seule quantité s ou r qui soit variable, en vertu de la variation du paramètre x. De ces deux équations, il suffit d'en considérer une, la première par exemple.

En raisonnant comme nous l’avons fait dans l’article précédent, il est évident que, pour avoir l’équation de la caractéristique, il faut différentier l'équation (D) de l’enveloppée, en regardant 4, et par conséquent s, comme seule variable; et, parce que s est linéaire, cette opération produira les deux équations Pdy — Qdx — 0, Pdp + (X + pl)dx = 0, qui appartiendront à la caractéristique, et au moyen desquelles et des deux suivantes Pdp + Qdq + (X + pLl)dx + (Y+ q2)dy = 0, dz = pdx + qdy,

on peut former les dix équations de l’art. XITI.

XX VIII

Si l’on différentiait (E) en regardant #, et, par conséquent, r comme seule variable, on aurait les deux équations

Pdy — Qdx — 0, Qdp + (X + pz)dy — 0, qui produisent également les dix équations de l’art. XIIH. Au lieu d'opérer, comme nous l’avons fait, sur l’équation (B),

on aurait pu traiter de même l'équation (C). En effet, si l’on chasse de cette équation l’une des deux quantités s, t, au moyen de

dg = sdx + tdy, on a l’une des deux équations suivantes :

(Eu. s{Pdy — Qdx} — !Pdg + (Y + gZ)dxt = 0, (G) + {Pér — Qar} + Qdp + (Y + g2)& = 0, dont la première, différentiée en regardant x, c’est-à-dire {, comme seule variable, produit les deux équations Pdy — Qdx — 0, Pdg + (Y + qL) dx — 0, qui fournissent les dix équations de l’art. XIIT; et dont la seconde,

différentiée en regardant «, c’est-à-dire s, comme seule variable, produit les deux équations

Pdy — Qdx — 0, Qdy + (Y + 42) — 0, qui remplissent le même objet.

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