L'ÉQUATION DES CORDES VIBRANTES

Lorsque les fonctions arbitraires qui complètent les intégrales des équations aux différences partielles sont toutes composées de la même quantité, c’est-à-dire lorsque les surfaces qui appartiennent à ces équations n’ont qu’une seule caractéristique, nous avons vu qu'il était toujours possible de déterminer les formes que les fonctions doivent avoir pour que la surface passe par autant de courbes arbitraires données qu'il y a de fonctions, ou soit circonscerite à autant de surfaces données arbitrairement, ou soit normale à ces dernières, et que cette opération n'est sujette à d’autres difficultés que celle de l’élimination algébrique. Mais lorsque les fonctions arbitraires sont composées de quantités différentes, le même procédé pour la détermination de chacune d’elles conduit à une équation aux différences finies. Toutes ces équations doivent être intégrées, et leur intégration introduit autant de fonctions arbitraires nouvelles qui doivent être déterminées par d’autres conditions dont la question est susceptible. J'ai cru qu'il était convenable de donner un premier exemple de cette opération, et J'ai choisi celui de l'équation des cordes vibrantes, moins par l'intérêt qu'inspire une question qui a été traitée avec le plus grand succès par les premiers géomètres, et sur laquelle je ne me propose pas de revenir, qu'à

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cause des facilités que présentent les conditions auxquelles cette question est ordinairement soumise : ainsi mon objet est de pure géométrie analytique.

(PE IF, fig. 1.) Si l'on conçoit qu’une corde élastique et uniforme AB, tendue en ligne droite, entre ses deux extrémités fixes A, B, par un poids déterminé, soit écartée de sa position par une cause quelconque qui lui fasse prendre la forme curviligne AMB, infiniment peu différente de la droite AB, et que cette cause vienne à cesser subitement dans toute l'étendue de la corde, la corde, abandonnée à elle-même, tendra à reprendre la forme rectiligne; chacun de ses points se portera vers la droite AB avec une force accélératrice, et, en arrivant dans cette droite, il aura une vitesse acquise, en vertu de laquelle il continuera son mouvement de l’autre côté; mais alors il tendra de nouveau la corde, et il éprouvera une résistance toujours croissante, qui lui fera perdre peu à peu toute sa vitesse.

Lorsque tous les points de la corde auront ainsi perdu leurs | vitesses, la corde aura une nouvelle position AM'B, dans laquelle elle sera de nouveau abandonnée à elle-même, et de laquelle elle se reportera vers AB, pour passer encore au delà, et ainsi de suite. Elle oscillera donc, de part et d’autre de AB, dans un même plan, et le mouvement d’oscillation ne cesserait pas sans quelques résistances, dont la principale est celle de l'air dans lequel il s'exécute.

Pour passer de l’état initial AMB à l’état final AM°B, la corde emploie un certain temps, et, dans tous les instants intermédiaires, elle est pliée suivant une courbe AmB, Am°B, dans l'équation de laquelle doit entrer le temps écoulé depuis le commencement du . mouvement : ce temps est une quantité constante pour chaque courbe en particulier, et variable d’une de ces courbes à l’autre.

Depuis longtemps les géomètres se sont occupés de l'équation

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de la courbe AmB. En nommant x l’ordonnée AP comptée dans le sens de la longueur de la corde, z l’ordonnée Pm qui lui est perpendiculaire, et y le temps écoulé depuis le commencement du mouvement, ils ont trouvé que l’équation de cette courbe était

ddz\ . ./{ddz = PT AVE

ou, suivant la notation que nous avons employée jusqu'ici, ils 0

dans laquelle « est une constante qui dépend des dimensions, de la densité et de la tension de la corde. La même équation exprime aussi le mouvement d’une molécule d’air dans la propagation du son.

Il est assez remarquable que cette équation, qui est du second ordre, soit la première équation aux différences partielles que l’on ait intégrée complétement. On est redevable de son intégration à MM. d’Alembert et Euler, qui en ont déduit l’explication des principaux phénomènes que présentent les cordes vibrantes et les lois de la propagation du son. M. Lagrange a traité depuis la même matiere avec la généralité et l'élégance qui lui sont ordinaires.

Je vais d’abord exposer rapidement l'intégration de l’équation; Je passerai ensuite à la construction de l’intégrale, qui est mon objet principal.