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Donc la constante e, pour chacune des bases des deux surfaces ”

cylindriques, est égale à l’ordonnée de cette base à l’origine. D’après cela, considérant sur chacune des deux bases le point a. qui correspond à l’origine, si pour chacune d’elles on mène par ce point une droite ac parallèle à l'axe AC des y; et qui en sera distante de la quantité + 2e pour l’une, et —%e pour l’autre ; et’ 2 si, rapportant chacune de ces deux courbes à à la droite ac corres=" % pondante, regardée comme un nouvel axe des y, on représente # leurs nouvelles ordonnées par fy et f J', on aura, pour la penièr es g

de ces courbes, #s" .

or

TT ce qui donne, en ajoutant, RON OMERRIEET ED TRE DE

Or le second membre est nul en vertu de la première équation aux différences finies de l’article précédent ; donc on aura

on trouverait de même

AL EEE) Ainsi, à la place des deux équations aux différences finies de l’article précédent, rapportées au même axe AC des y, on a pour les deux bases, rapportées chacune à son axe particulier ac, la même

équation aux différences finies délivrée de la constante arbitraire e, c'est-à-dire qu’en faisant pour les deux bases

ona, pour l’une, 4 Afy OR fy, et pour l’autre,

ù- APR 1

Les équations aux différences finies que nous venons de trouver sont faciles à intégrer, et leurs intégrales expriment évidemment que, pour la même base, deux ordonnées quelconques wv, ‘uw, prises à distances égales et de part et d'autre du point a, sont égales

entre elles et de signes contraires. Donc, pour chacune des bases

des deux surfaces cylindriques, le point « qui correspond à l’origme

est un véritable centre de la courbe, dont toute la partie qui est

dans la région des y et z négatifs est symétrique, et semblable à celle

tt 49 O us

qui est dans la région des y et z positifs ; de manière que si l’une de ces deux parties était construite, l’autre s’ensuivrait nécessairement.

I suit de là que si sur la droite ac, et à partir du point a, on porte de part et d'autre deux quantités aa”, a ‘a égales chacune à BB”, c’est-à-dire à la quantité «A, ce qui détermine sur cette droite l’intervalle ‘a «’ d’une période, la portion de la base qui correspond à cette période est partagée par le point « en deux parties de même étendue dans le sens des y, et dont l’une n’est autre chose que la répétition de l’autre dans la région diamétralement opposée. Ilen est de même des deux périodes aa”, ‘aa, et ainsi de suite. Donc si, à partir du point a, on partage la courbe, tant en avant qu’en arrière, en demi-périodes étendues chacune dans le sens des y de la quantité & A, ces demi-périodes seront telles, que deux quelconques consécutives seront l’une la répétition de l’autre dans la région diamétralement opposée; et que, de deux en deux, elles seront parfaitement égales et semblables entre elles. Ainsi, pour connaître entièrement les deux bases des surfaces cylindriques, il ne reste plus qu’à déterminer, pour l’une quelconque d'elles, la forme d’une de ces demi-périodes, qui dépend uniquement de la figure initiale arbitraire AMB donnée à la corde vibrante.

QE

Non-seulement la constante e que nous avons employée art. VII et VIIT est arbitraire, mais encore sa grandeur est absolument indifférente à la surface parcourue par la corde vibrante, surface qui est toujours la même, quelle que soit la grandeur de la constante e.

En effet, nous avons vu qu’on obtient les deux caractéristiques de la surface, en coupant les deux surfaces cylindriques par deux plans parallèles aux z, l’un mené par la droite AB”, dont l'équation est

= 491 Les” l’autre mené par la droite A'B, dont l'équation est Y +ax = 0,

et qu'on engendre la surface parcourue par la corde vibrante, en faisant mouvoir l’une quelconque de ces deux caractéristiques de manière que, son plan restant toujours parallèle à lui-même, et les z de ce plan restant toujours parallèles entre elles, le point du plan qui était d'abord à l’origine, rendu mobile avec le plan, parcoure l’autre caractéristique. Or, si l’ordonnée d’une des bases à l’origine est + e, celle de l’autre base à l’origine est — e ; les ordonnées des deux caractéristiques à l’origine sont donc aussi + e pour l’une et — e pour l’autre. Donc, si pour opérer la génération de la surface, on transporte l’origine mobile de la première caractéristique sur la courbe de la seconde, on abaisse la première de ces courbes de la quantité e, et cette courbe alors passe elle-même par l'origine.

Lors donc qu'ensuite elle se meut de manière que son origine mobile parcoure la seconde, son mouvement est le même que si, les deux caractéristiques étant transportées à l’origine sans changer de formes, on faisait mouvoir l’une de manière que son point qui est à l'origine parcourût l’autre.

On peut donc, sans changer ni la forme ni la position de la surface engendrée, donner à la quantité e la valeur que l’on voudra. Tout se simplifie beaucoup si l’on fait cette quantité e — 0; les axes particuliers ac des deux bases coincident alors avec l’axe primitif AC, et la fig. 2 se change, dans la fig. 3, ou les points analogues sont marqués par les mêmes lettres.

XIT.

Pour achever de déterminer entièrement les bases des deux surfaces cylindriques ( 4. 3), il ne s’agit plus que de construire pour

ue chacune d’elles la première demi-période AM'A”, AN’A”, dont l'étendue dans le sens des y est égale à BB’, c’est-à-dire à la quantité a A : c’est ce qu’on fera en satisfaisant à la troisième condition de l’art. V, qui est la seule qui n’ait pas encore été employée. Cette condition porte que la surface engendrée coupe le plan des x, z dans la courbe initiale qui doit être donnée arbitrairement.

Soit AMB la courbe initiale donnée, et couchée sur le plan des +, ÿ, et soit GM une quelconque de ses ordonnées; si, par le pied G de cette ordonnée, on mène deux droites GG”, GG parallèles aux directrices AB’et A'B des deux surfaces cylindriques, et si l’on prolonge ces parallèles jusqu’à ce qu’elles rencontrent l’axe AC en deux points G”, ‘G, il est évident que, pour le point G de la droite AB, les ordonnées des deux-surfaces cylindriques seront égales, l’une à G’M, et l’autre à ‘G'N : donc on doit avoir

G'MSL IGN CG:

Mais on a, art. VI,

CM (NE él are LIT

donc on doit avoir

donc chacune des ordonnées G’M’, ‘G'N est la moitié de l’ordonnée connue GM.

En opérant de la même manière pour tout autre point G de la droite AB, on aura autant d’ordonnées que l’on voudra de la première demi-période de chacune des bases des deux surfaces cylindriques ; les bases seront donc déterminées dans toute leur longueur indéfinie, et il sera facile de construire l’ordonnée z de la surface pour un point P quelconque pris arbitrairement sur le plan des +, y

tu

OR ee

Car, en menant par ce point deux droites PP”, PP” parallèles aux directrices des deux surfaces cylindriques, on déterminera sur AC les pieds P”", P” des ordonnées P’Q”, P”Q” des bases correspondantes; et l’ordonnée z de la surface au point P sera égale à la somme de ces deux ordonnées particulières, prises avec le même signe si elles sont placées du même côté par rapport à AC, et avec des signes contraires si elles sont de côtés différents.

Il sera également facile d’engendrer la surface par le mouvement de l’une de ses caractéristiques sur l’autre, car ces deux courbes ne sont autre chose que les intersections des deux surfaces cylindriques par des plans parallèles aux z, menés l’un par la droite AB'et l’autre par AB, intersections quisont faciles à construire, puisque les bases des cylindres sont entièrement déterminées.