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La construction par points que nous venons de donner pour la surface peut être abrégée considérablement, et l’on peut se dispenser de la construction des bases des deux surfaces cylindriques.

Soit AB la corde vibrante tendue en ligne droite (P{. F, fig. A), soit AMB la figure initiale donnée arbitrairement à la corde, et que nous supposons couchée sur le plan des x, y; soient AC, BD les deux droites perpendiculaires à AB, par lesquelles nous avons vu que la surface devait passer, en vertu des deux premières conditions de l’art. V ; à partir du point À, soit divisée la droite AC en parties À A’, A’A”, A’A”,..., toutes égales à l'étendue «A dans le sens des y d’une demi-période ; et par tous les points A’, A”, A”... ainsi déterminés, soient menées parallèlement à AB, et jusqu’à la

rencontre de l’autre droite BD, les droites A’B’, A’B”, AB" ,...: soient menées les diagonales AB/, A’B qui seront parallèles aux directrices des surfaces cylindriques; enfin, soit construite la

courbe AB qui passe par les milieux des ordonnées de la courbe donnée AMB.

Cela fait, étant donné un point P pris arbitrairement sur le plan des x, y; pour trouver l’ordonnée z de la surface en ce point, on mènera par ce point, et du côté de la droite AB, deux parallèles aux diagonales AB”, A’B, et on les prolongera jusqu’à ce qu’elles rencontrent chacune l’une des deux droites AC, BD; on les réflé- chira l’une et l’autre de manière que l’angle de réflexion fait avec cette droite soit égal à l’angle d'incidence, et on les prolongera jusqu’à la rencontre de l’autre droite ; on les réfléchira encore, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’elles parviennent enfin à la droite AB, et la rencontrent entre ses extrémités, l’une en un point g, l'autre en un point g”, ce qui déterminera, pour la courbe AB, deux ordonnées gn, g'n”', dont la somme donnera l’ordonnée z de la surface pour le point donné P; en observant que le signe de chacune de ces ordonnées partielles est positif si le nombre des réflexions éprouvées par la droite qui la détermine est pair, et négatif si le

nombre de ces réflexions est impair.

Les deux droites menées par le point P, ainsi que nous venons de le dire, après leurs réflexions successives, se rencontrent de nouveau dans des points P”, P”,..., p', p”,..., pour lesquels les ordonnées z de la surface sont égales à la somme des mêmes ordonnées partielles ga, q'n", et, par conséquent, égales entre elles ; mais ces ordonnées sont positives pour tous ceux de ces points tels que P, P”’, P” qui sont placés dans les demi-périodes impaires, et elles sont négatives pour les points p”, p” qui sont placés dans les demi-périodes paires. Et parce que tous les points P, P’, P”,... sont semblablement placés dans leurs périodes respectives, ainsi

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que les points p”, p” dans les leurs, il s'ensuit qu’à chaque période entière tout se renouvelle; et que, pour connaître entierement la surface, il suffit de l’étudier dans toute l’étendue de la première période.

(PL F, fig. 5.) En ne considérant de la surface que la partie qui correspond à la première période À ABB, recherchons d’abord l'intersection de la surface par le plan parallèle aux z qui termine la période, ce qui se réduit à construire l’ordonnée de la surface pour un point quelconque P”pris sur la droite AB”: il est clair que cette intersection donnera l’état de la corde vibrante à la fin de la première période, c’est-à-dire après le temps exprimé analytiquement par la quantité 2 a A.

Si l’on suit le procédé indiqué art. XII, on mènera les lignes P'uu’P et P'vv'"P jusqu'à leur rencontre avec la droite AB ; or, de ce que l'intervalle AA" est égal à l'étendue 2 «A d’une période entière, il suit : 1° que ces deux lignes rencontreront AB dans le même point P; 2° que le point P sera placé sur AB de la même manière que P’sur A”B”; 3° que chacune de ces lignes aura éprouvé

deux réflexions, en w, 4” pour l’une, et en v, »” pour l’autre. L'ordonnée en P’ sera donc égale au double de l’ordonnée P» et de même signe ; elle sera donc égale à l’ordonnée PM de la courbe initiale, et dans le même sens par rapport au plan des +, y. Done, la section faite par AB”, et qui termine la première période, est parfaitement égale et semblable à la courbe initiale AMB, et placée du même côte.

Il suit de là qu'à la fin du temps exprimé par 2 a A, la corde vibrante se retrouve dans le même état ou elle avait été abandonnée elle-même à l’origine; et parce que tout se renouvelle après chaque période; la corde reprend le mème état à des intervalles égaux entre eux et exprimés par la quantité analytique 2 a A.