X VL

Pour connaître l’état de la corde au milieu d’une période, il faut construire la section de la surface par un plan mené par A’B", parallèlement aux 3; c’est-à-dire construire l’ordonnée de cette surface pour un point quelconque p pris sur A°B”. Or il est clair que st, par le point p, on mène les lignes pv’ P et pu”P jusqu’à la rencontre de la droite AB, 1° ces droites coupent AB dans le même point P ; 2° le point p sera placé sur AB d’une manière opposée à celle dont p est situé sur A’B”, c’est-à-dire que l’on aura PB— pA”; 3° enfin, les

lignes auront éprouvé chacune une seule réflexion. L'ordonnée de :

la surface au point p sera donc égale à l’ordonnée entière PM de la courbe initiale, mais de signe contraire.

Il suit de là que la section faite par A”B”est égale et semblable à la courbe initiale, mais renversée par rapport à elle; c’est-à-dire que si la courbe initiale est représentée ( fig. 6) par AMB, l'état de la corde, après une demi-période, est la courbe AmB placée de l’autre côté, et telle, que le milieu E de la droite AB est le centre de la figure renfermée par ces deux courbes. D’après cela, toutes les

ordonnées de la section faite par A’B”( Zig. 5) sont des minima * dans le sens des y, comme celles de la courbe AMB sont des maxima ; ainsi cette courbe est un état initial pour la demi-période d 1 suivante. Donc, l'étendue d’une demi-période A A”, A A”, repré- “

sente la durée entière d’une vibration de la corde vibrante.

X VII

(fig. 5.) Recherchons actuellement l’état de la corde au quart: de la première période.

ee, ° L d Il est évident que si, par l'intersection E des deux diagonales AB”, ”

AB, on mène «ab parallèle à AB, et que si, par cette droite, on fait à

passer un plan parallèle aux z, la section faite par ce plan donnera l’état demandé de la corde; il s’agit donc de construire les ordonnées z de la surface pour les différents points de la droite ab.

Opérons d’abord pour le point E, qui est le milieu de ab. D’après la construction, l’ordonnée z de la surface en ce point est égale à la somme des demi-ordonnées de la courbe initiale aux points extrèmes À, B. Or, quelle que soit la courbe initiale, ses ordonnées aux points extrêmes sont toutes deux nulles; donc l’ordonnée pour le point E est nulle aussi. Donc, au quart de la période, ou lorsque la corde est à la moitié de sa vibration, le milieu de la corde se trouve sur le milieu de la droite AB.

S'il s’agit de l’ordonnée d’un point Q, pris d’une manière quelconque sur ab, après avoir mené par ce point les lignes Qu”q et Qg” jusqu’à ce qu’ellesaient rencontré la droite AB dans des points q, q”, pour lesquels les ordonnées de la courbe AMB soient respectivement gn, q'n’: il est évident, 1° que les deux points 4, g’ seront placés à distances égales des deux extrémités À, B, car ces distances seront chacune égales à QE; 2° que l’une des lignes de construction aura éprouvé une réflexion en 4”, tandis que l’autre n’en aura pas éprouvé; que, par conséquent, l’ordonnée gn doit être prise avec le signe négatif. L’ordonnée z de la surface au point Q sera donc égale à g'n" — qgn; cette ordonnée ne peut donc être nulle, à moins que l’on n'ait ga — qn, c'est-à-dire à moins que les ordonnées de la courbe initiale prises à distances égales des extrémités À, B ne soient égales entre elles; ou, enfin, à moins que la courbe initiale ne soit symétrique de part et d'autre de son milieu.

Il suit de là que, lorsque la figure initiale de la corde vibrante est symétrique de part et d’autre de son milieu, à la moitié de la durée de sa vibration, tous les points de la corde sont en ligne droite, c'est-à-dire que, dans chacune des vibrations, tous les points de la

corde passent en même temps par la droite AB ; mais que quand la

courbe initiale n’est pas symétrique, dans aucun instant de la durée de sa vibration la corde ne se trouve en ligne droite, et ses différents points ne passent que successivement par la droite AB.

Maintenant, si l’on opère pour un autre point Q’de la droite «bp, pris de l’autre côté du milieu E et à même distance que le point Q, pour trouver l’ordonnée z de la surface en ce point, il faut mener les lignes de construction Q'g et Q'v”q" jusqu’à leur rencontre avec la droite AB. Or il est évident que les points de rencontre q, q' sont les mêmes que ceux qu’on trouve pour le point Q, avec cette différence, que c’est celle des lignes de construction qui n'avait pas éprouvé de réflexion dans le premier cas, qui l’éprouve dans le second, et réciproquement; donc l’ordonnée au point Q” est égale à qn — q'n', c'est-à-dire est égale à celle du point Q prise avec le signe contraire.

Il suit de là que, lorsque la figure initiale de la corde vibrante n’est pas symétrique de part et d’autre de son milieu, à la moitié de sa vibration la figure de la corde est ( fig. 6) une courbe AuEu'B dont les ordonnées, prises à distances égales du milieu E, sont égales entre elles, et dont le point E est en même temps centre et point d’inflexion.

(Fig. 5.) Enfin, soit PM la plus grande ordonnée de l’état initial : si par le point P on mène les lignes de construction P4’11” et PII jusqu’à ce qu’elles rencontrent la droite ab dans les points NH, Il”, ces deux points seront à égales distances de part et d’autre du pont E, et il est clair que leur intervalle sera égal à 2PB; car on aura PB=—TE — En”. Cela posé, si l’on veut construire les ordonnées de la surface pour les points 11, 11”, il faut mener par ces deux points les autres lignes de construction Iy7 et I’7 jusqu'à ce qu’elles rencontrent la droite AB. Or il est évident, 1° que ces deux dernières lignes rencontrent la droite AB dans le même point 7; 2° que l’on a HA — PB; donc les ordonnées de la surface aux

re gg —

points I, 11° seront

Prn — Ilu, pour la premiere, et — Pn— Tu, pour la seconde ;

elles seront, par conséquent, égales entre elles et de signes contraires.

(fig. 6.) De plus, il est facile de voir que, de ces deux ordonnées, la première est un maximum et la seconde un runimum; donc la figure À 4 Eu°B que prend la corde au milieu de sa vibration a deux ordonnées 114 et Il'w” égales entre elles et de signes contraires, dont l’une est un n#aximum et l’autre un #74inimum. Ces deux ordonnées sont, de part et d’autre, à égales distances du milieu E ; la distance de chacune d'elles au milieu est égale à PB, et l'intervalle qui sépare ces deux ordonnées, plus grande et plus Ho rest — 2 PB.

Il serait facile de pousser plus loin la discussion de la première demi-période, et de rechercher l’état de la corde à d’autres intervalles plus petits; mais tant que l’état initial n’est pas déterminé, ces recherches ont peu d'intérêt, et nous en resterons là à cet égard.

Nous avons vu que la surface coupe le plan des x, y dans les deux droites indéfinies À A’A”..., BB'B”..., et dans le centre E de chacune des demi-périodes; mais, sous ce point de vue, le centre E n'est pas isolé : ilest sur une courbe dans laquelle la surface coupe encore le plan des x, y, et qu’il s’agit de construire.

(Fig. 7.) Pour cela, toutes choses analogues étant les mêmes dans la fig. 7 que dans la Jig. 5, soit menée la droite 44 parallèle

à AB, et qui coupe la courbe AmB en deux points 2, nr”, dont les

ordonnées pr, p'n' seront égales entre elles; et par les pieds p, p” de ces deux ordonnées soient menées des lignes de construction. Cela fait, si dans la première demi-période on compare, pour l’un de ces points, la ligne de construction qui n’a pas encore éprouvé de réflexion avec celle de l’autre point qui en a déjà éprouvé une, et réciproquement; et si l’on considère les points dans lesquels ces deux lignes se coupent, on aura deux solutions, c’est-à-dire que l’on trouvera deux points 7, 7', qui seront tels que l’ordonnée-:z de la surface sera nulle pour l’une et pour l’autre; car l’ordonnée du point 7 est Ze p nl po;

et celle du point 7° est

32= —pn + pn = 0.

Or les deux points 7, 7° sont évidemment les sommets des angles diagonalement opposés d’un parallélogramme dont E est le centre: donc ils sont en ligne droite avec le point E, et, de part et d’autre, à égales distances de ce point.

En opérant de la même manière pour tant d’autres droites LA que l’on voudra, on trouvera autant de systèmes de points 7,7 pour lesquels ordonnée z de la surface sera nulle, et le lieu de tous ces points sera une nouvelle intersection de la surface par le plan des x, y. Ce lieu est une courbe w’7E7'u" passant par le point E, qui en est le centre, et par les points #”, u” que détermine le pied P de la plus grande ordonnée de l’état initial AMB, et il se renouvelle d’une manière opposée dans la seconde demi-période en uE'v : les points v”, w’ sont donc deux sommets de cette courbe placés, l’un en decà, l’autre au delà de la droite ab, et à égales distances de cette droite.

Il suit de là que dans le commencement de la durée de la vibra-

tion, et pendant tout le temps représenté par Bu”, aucun des points de la corde vibrante ne parvient à l’axe AB. A la fin du temps Bu’, la figure de la corde, qui est la section faite dans la surface suivant la droite «'u" parallèle à AB, ne coupe point encore la droite AB (fig. 8), mais elle la touche en B comme AB: ce point de contact se change à l'instant en un point d'intersection qui se meut de B vers À; sa vitesse, qui commence par être infinie, décroît rapidement jusqu'à la moitié de la vibration, époque à laquelle il se trouve en E, et sa vitesse est alors un »##rimum. | continue à se mouvoir vers À, où il parvient, à la fin du temps exprimé par Av”, avec une vitesse qui, après avoir crü de plus en plus depuis le z2nimum en E, est enfin redevenue infinie, et il prend pour un instant infiniment petit l’état de point de contact. Alors la figure de la corde, qui est la section faite dans la surface suivant la droite vb” parallèle à AB (/ig. 7), cesse de couper la droite AB ( /ig. 8); elle la touche en À, et devient A 4'B opposée à A 4B. Ensuite la corde n’a plus aucun de ses points intermédiaires sur la droite AB, non-seulement pendant la durée du reste de la vibration, mais encore jusqu’à la fin du temps exprimé par Au ( fig. 7), où elle reprend la figure À #°B (fig. 8), qui touche en A la droite AB, et où tout ce que nous venons de dire pour la première demi-période se renouvelle pour la seconde, mais en sens contraire.

Fie. 9.) Jusqu'ici nous avons supposé que la corde vibrante - q

était terminée à ses deux points fixes À, B, et, dans cette hypothèse, nous avons vu, 1° que toute la surface qui est le lieu des

différents états que la corde prend successivement est terminée par les deux droites AC, BD prolongées indéfiniment du côté des y positifs, c’est-à-dire du temps futur; 2° que cette surface est

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composée de demi-périodes de même étendue dans le sens des y, dont deux consécutives sont opposées entre elles, et qui, de deux en deux, sont égales et semblables. Mais il peut arriver que la corde AB ne soit qu’une partie d’une corde indéfinie AB, tendue d’une manière uniforme, et dont les seuls points A, B, gènés par des obstacles, ne puissent prendre de mouvement: dans ce cas, si l’on veut reconnaître l’état de la corde pour tous les temps futurs, il faut construire la surface dans toute l'étendue où l’on peut le faire d’après l’état initial et connu de la partie AB de la corde.

Or, 1° d’après la génération de la surface, il est facile de reconnaître qu’elle est composée des deux demi-périodes qui se succèdent alternativement, tant dans le sens des x que dans celui des y, comme on le voit dans la fig. 9, où nous avons marqué du n° 1 les parties du plan des x, y qui correspondent aux demi-périodes égales à la première, et du n° 2 les parties de ce plan qui correspondent aux demi-périodes égales à la seconde; 2° d’après la construction par points, il est évident que si par les points A, B on mène les droites A A’A”... et BB’B”..., projections de deux caractéristiques différentes, on ne peut, d’après l’état initial AMB de la seule partie AB, construire de nouvelles portions de la surface que celles qui sont en avant des deux caractéristiques.

Donc la surface prolongée indéfiniment en avant, mais terminée en arrière par la courbe initiale AMB, et par les deux caractéristiques divergentes, menées en avant par les deux points A, B, contient tous les états par lesquels passe successivement la corde indéfinie lorsque sa partie AB a été mise en vibration.

Ainsi l’état initial de la corde entière étant 4 AMB 1, après l’intervalle d’une demi-période, c'est-à-dire à la fin de la première vibration, la corde aura la figure 'A"M'M'M'B'1'; après une période entière, c’est-à-dire à la fin de la seconde vibration, elle aura Ja figure 4”A7M”...B"15". Au milieu d’une des vibrations,