Hinc facile sequitur, haberi generaliter

cos (1) L°? + cos (2) L? + cos (3) L°= 5,

nec non, denotante L/ quodeunque aliud punctum superficiei sphæricæ , esse cos (1) L.cos (1) L’ + cos (2) L. cos (2) L’ + cos (3) L.cos (3) L’ — cos LE!

6. Turorema. Denotantibus L, L', L/, L” quatuor puncta in superficie sphæræ, atque À angulum, quem arcus LL’, LL" in puncto concursus sui formant, erit

cos LEFe0os LL — CL”. cos LL sin LL/. sin LL 608 A8

,. y Demonstratio. Denotet littera À insuper punctum concursus ipsum, statua-

turque

‘AT — Le AL == Li; AL/ — Li, AL" eu NA:

Habemus itaque

cos LL/ — cost cost” + sint sint/ cos A, ** 2 cos L'L/”— cost cos t” + sint’sin {” cos À, 4 cos LL” — cost cost” + sint sint”cos A, k.

cos L'L/— cos t'cost” + sin £’sin f” cos À; *£

et proin SEL cos L'L" cos LL’. cos L'L" A cos £ cost” sin t’ sin t” — cos

+ costcost”/sint sin t”/— cost cost”’sint’'sint/—cost'cost”/sintsint

— cos À (cos t sin £’— sin f cos t’) (cost”sint” — sint”sint”)

— cos À .sin(é —+t).sin(t”—1”)

— cos À . sin LE. sin L/[/”.

Ceterum quum inde a puncto À bini rami utriusque cireuli maximi proficiscantur, duo quidem ibi anguli formantur, quorum alter alterius complementum ad 180° : sed analysis nostra monsirat, eos ramos adoptandos esse, quorum directiones cum sensu progressionis a puncto L ad L/, et a puncto L/ ad L/” consentiunt : quibus intellectis simul patet, quum cireuli maximi duobus puuctis concurrant, arbitrarium esse utrum eligatur. Loco anguli À etiam arcus inter polos circulorum maximorum, quorum partes sunt arcus LI, L'L/", adhiberi potest : manifesto autem polos tales accipere oportet, qui re- … spectu horum arcuum similiter jacent, puta vel uterque polus ad dextram

dè procedimus , vel uterque ad

“ jacens, dum a L versus L/ atque ab L/ versus L levam.

7. Sint L, L/, L'tria puncta in superficie sphærica, statuamusque, brevitatis causa , : cos =, cos (2 = 7, Muices (5) LD" * MS lriL ES Cos (ail 7% cost) LEZ" Don tr con (al cos (3) L' = 27, nec non xy'z" + x'y"z + x"yz'— xy"z" — x'yz" — x" y'z E. HAE Designet À polum circuli maximi, cujus pars est arcus LI/, et quidem eum,

qui respectu hujus arcus similiter jacet, ac punctum (r) respectu arcus (2) (3). Tune erit, ex theoremate præcedente, ? P

yz —7"z — cos (1) À . sin (2) (3) sin EL, sive, propter (2) (3) — 90°,

y2z!—7'z = cos (r) À. sin LI’,

TOR et perinde zx— z'x— cos (2)À.sin LL’,

xy! — x'y = cos (3) À. sin LI.

Multiplicando has æquationes resp. per x”, y”, z”, et addendo, obtinemus

adjumento theorematis secundi in 5 prolati A = cos ÀL/. sin LL’.

Jam tres casus sunt distinguendi. Primo, quoties L/ jacet in eodem circulo maximo cujus pars est arcus LE’, erit AL/— 90°, adeoque À = 0. Quoties vero L/' jacet extra circulum ïillum maximum, aderit casus secundus, si est ab eadem parte, a qua est À; tertius, si ab opposita : in his casibus, puneta L, [/, L” formabunt triangulum sphæricum, et quidem jacebunt in casu secundo eodem ordine quo puncta (1), (2), (3), in casu tertio vero ordine opposito. Denotando angulos illius trianguli simpliciter per L, L/, L/, atque perpendiculum in superficie sphærica a puneto L/ ad latus LL’ ductum per p, erit sin p=— sin Le. sin LI — sin L/. sin L/[/, atque À L/ — 90° = p, valente signo superiori pro casu secundo , inferiore pro tertio. Hinc itaque colligimus

+ A— sin L.sin LL. sin LI/—sinl/.sinLI/, sinl/[,—sinL/, sin LL/.sinl/L/.

Ceterum manifesto casus primus in secundo vel tertio comprehendi censeri potest, nulloque negotio perspicitur, + À exhibere sextuplum soliditatis pyramidis inter puncta L, [/, L’atque centrum sphæræ formatæ. Denique hine facillime colligitur, eandem expressionem + + À generaliter exprimere soliditatem cujusvis pyramidis inter initium coordinatarum atque puncta quorum coordinatæfsunt-7, 0m yeurt: ET EEE tRzE contente.

Superficies curva apud punctum À in ipsa situm curvatura continua gaudere dicitur, si directiones omnium rectarum ab A ad omnia puncta superficiei ab À infinite parum distantia ductarum infinite parum ab uno eodemque plano per À transiente deflectuntur : hoc planum superficiem curvam in puncto À tangere dicitur. Quodsi huic conditioni in aliquo puncto satisfieri nequit, continuitas curvaturæ hic interrumpitur, uti e. g. evenit in cuspide coni. Disquisitiones præsentes ad tales superficies curvas, vel ad tales super-

ficiei partes, restringentur, in quibus continuitas curvaturæ nullibi interrum-« P ; 8 ;

itur. Hic tantummodo observamus, methodos, quæ positioni plani tangentis P ; ; P

determinandæ inserviunt, pro punetis singularibus, in quibus continuitas curvaturæ interrumpitur, vim suam perdere, et ad indeterminata perducere

debere.

Situs plani tangentis commodissime e situ rectæ ipsi in puncto À normalis cognoscitur, quæ etiam ipsi superficiei curvæ normalis dicitur. Directionem hujus normalis per punetum L in superficie sphæræ auxiliaris repræsenta-

bimus, aitque statuemus

COR MERE cos OL IV MES ET 7;

coordinatas puncti À per x, y, z denotamus. Sint porro x + dx, y + dy, z + dz coordinatæ alius puncti in superficie curva À’; ds ipsius distantia infinite parva ab À; denique À punctum superficiei sphæricæ repræsentans dire-

ctionem elementi AA’. Erit itaque

ds cos Dar ds. cos (2), À 4, 4z — ds os (3) À,

et, quum esse debeat AL — 90°, X cos (1) À + Y cos (2) À + Z cos (3) À — 0.

Et combinatione harum æquationum derivamus X dx + Ydy + Zdz — 0.

Duæ habentur methodi generales ad exhibendam indolem superficiei curvæ. Methodus prima utitur æquatione inter coordinatas x, y, z , quam reduciam esse supponemus ad formam W —o, ubi W erit functio indeterminatarum

x, y, z. Sit differentiale completum functionis W, j dW = Pdx + Qdy + Rdz; eritque in superficiei cur va

Pdx + Qdy+Rdz—o,

P cos (1) À + Q cos (2) 1 +R cos (3) À — o.

et proin

Quum hæc æquatio, perinde ut ea quam supra stabilivimus, valere debeat pro directionibus omnium elementorum ds in superficie curva, facile perspi-