SECONDE MANIÈRE, D'APRÈS LE MOUVEMENT DE LA DROITE GÉNÉRATRICE

>. La génératrice devant constamment passer par le sommet, ses équations seront

Liacl

| & no | à:

ca

ï (F) Y—b—B(z—c), dans lesquelles les trois quantités «, b, ce, qui sont les coordonnées du sommet, sont constantes, quelle que soit la position de la génératrice, mais dans lesquelles « et 8, qui sont constantes pour une même position de la génératrice, varient lorsque la génératrice passe d’une position à une autre.

Ainsi, pour toute surface conique, lorsque le point que l’on considère change de position sur la surface sans quitter néanmoins la même position de la droite génératrice, les deux quantités « et £,

, XX — «à — b ou leurs égales Er et Te sont toutes deux constantes ; et SE Le

lorsque le point se meut de manière qu’il passe d’une position de la génératrice à une autre, ces deux quantités varient toutes deux.

TO en

. TX — 0 4 Pour les surfaces coniques, les deux quantités =" et 2"

RC Z sont donc constantes ensemble et variables ensemble; elles sont donc fonctions l’une de l’autre : donc l'équation générale des surfaces coniques est

En

Ha CG FÉES (E

dans laquelle & indique une fonction quelconque.

La forme de cette fonction dépend de la nature de la courbe qui sert de base à la surface, ou qui dirige le mouvement de la génératrice. Cette forme est analytique ou non, selon que la courbe est ou n’est pas soumise à la loi de continuité.

Nous verrons par la suite que les deux équations que nous venons de trouver sont de la même généralité, et que lune est l'intégrale complète de l’autre.

Il suit de là que les équations de la génératrice sont

TX — a D

| À = & Pan 2 , PR ®a,

4 étant le paramètre, de la variation duquel dépend le mouvement de la génératrice.

Etant données les coordonnées du sommet, et les équations de la courbe à double courbure qui dirige le mouvement de la génératrice, trouver l'équation de la surface conique individuelle.

3. La question se réduit évidemment à déterminer dans l'équation générale des surfaces coniques, quelle doit être la forme de la fonction $, pour que la surface passe par la courbe donnée.

Soient représentées par F(x,7,2) —0o et f(x, y,z) —0o les deux équations données de la courbe à double courbure donnée; la génératrice devant couper cette courbe dans toutes ses positions, il

faut que les quatre équations

47 ; CL ) ÉSITER Der un F (CL, z) 0; J (2,9; 2) a À OR 4

aient lieu en même temps, quelle que soit la valeur de #. Done, si l’on élimine entre ces quatre équations les trois quantités æ, y, 3,

on aura en & et £a une équation que nous représenterons par { (æ, Ga =0:

et qui devant être satisfaite, quelle que soit la valeur de 4, servira à déterminer la forme de la fonction @, c’est-à-dire la manière dont cette fonction doit être composée de la quantité « qu’elle renferme. Remettant pour « et ga leurs valeurs, il est évident que l'équation de la surface conique individuelle demandée sera

Etant données les coordonnées du sommet, trouver l'équation de la surface conique indiwiduelle circonscrite a une surface courbe donnée.

4. La surface donnée et la surface conique demandée se touchent en une courbe à double courbure, dont il suffira de trouver les équations ; car la surface conique devant passer par cette courbe, la question sera réduite alors à la précédente. Or, pour tous les points de cette courbe de contact, les deux surfaces ont le même

dx

: - dz plan tangent; donc, pour ces mêmes points, les valeurs de (a) dz . 7 . , .

et (T , produites par l’équation de l’une des surfaces, doivent

ètre les mémes que les valeurs produites par l'équation de l’autre.

Soit donc F(x, y, =) —0 l'équation de la surface donnée; si, après LR der y LE dz dz en avoir tiré par la différentiation les valeurs de 7) € g) 90

les substitue dans l'équation différentielle des surfaces coniques,

dz dz z—cC—(x—a) E + (y — d) (&):

on obtiendra en +, y, z une équation, que nous représenterons par

f(x, 7, 3) = 0, et qui appartiendra à la courbe de contact des deux surfaces ; et parce que cette courbe est aussi sur la surface donnée,

il s'ensuit que ses deux équations seront Hets)=:0 CCR 0 eZ 10:

Donc, traitant ces deux équations comme dans le cas précédent,

l'équation

qu'on obtiendra, sera celle de la surface conique individuelle de-

mandée.

Lorsque le sommet du cône est un point lumineux, la courbe de contact dont nous venons de trouver les équations est celle qui, sur la surface donnée, sépare la partie éclairée de la partie obscure.

Lorsque le sommet du cône est le lieu d’un œil, cette courbe de contact est la ligne du contour apparent de la surface donnée pour l’œil placé au sommet du cône.

Si la surface à laquelle la surface conique doit être circonscrite

est du second degré, son équation sera Az? + By° se Le | + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy |; — K; + 2Gx + 2Hy + 2Jz

ce qui donnera

CIDE" Ax+Fy+Ez+G Es res ne AVAL Ex + Dy + Cz+J

Substituant ces valeurs dans l'équation dz Nu z—c—(x a) (a) + (y — b) (SE) et retranchant l'équation du second degré elle-même, on aura æ(Aa + Fb + Ec+6G) + Y(Fa + Bb + De + H) + z(Ea + Db + Cc+ SJ) + Ga Hb+ Jc— K

équation qui appartient à un plan : d’où il suit que, pour toute surface du second degré, la courbe de contact avec une surface conique circonscrite est toujours plane.

On démontre avec la même facilité que, si la surface est du deoré M, sa courbe de contact avec une surface conique circonscrite est sur une autre surface courbe du degré m — 1.

Quelle que soit la surface touchée, si après avoir substitué pour

1z l mn ; a et (“= | leurs valeurs dans 1 équation AT dy

z—c—(x—a) (&) + (y — d) a) on élimine un paramètre quelconque au moyen de l’équation de la surface touchée, on obtiendra en x, y, z une équation qui appartiendra à la suite des lignes de contact de toutes les surfaces qui ne diffèrent entre elles que par le paramètre éliminé. Cette équation sera donc celle de la surface unique qui contient toutes les lignes de

contact, et qui les détermine par ses intersections avec la suite des surfaces touchées. Mais cette équation aura tous ses termes multipliés par l’un des trois coefficients x—a, y —b,z—c; donc la surface à laquelle elle appartient passera nécessairement par le sommet commun à toutes les surfaces coniques circonscrites.

Par exemple, on voit par là que, si les surfaces touchées sont des sphères concentriques qui ne diffèrent entre elles que par leurs rayons, leurs lignes de contact sont des cercles qui sont tous sur la surface d’une autre sphère, dont un diamètre est la droite qui joint le centre commun de toutes les sphères au sommet commun de

toutes les surfaces coniques circonscrites.