DES SURFACES DE RÉVOLUTION

Trouver l'équation s'énérale des surfaces de révolution, c’est-à-dire q 5 > eXpruner qu'une surface est engendrée par la révolution d'une

courbe quelconque autour d'un axe donné de position. PREMIÈRE MANIÈRE, D'APRÈS LA CONSIDÉRATION DU PLAN TANGENT.

1. Une propriété caractéristique des surfaces de révolution, et qui est indépendante de la nature de la courbe génératrice, est que le plan tangent est toujours perpendiculaire au plan mené par le point de contact et par l’axe. Nous nommerons ce dernier plan méridien.

Li Az a |

y = Bz + b |

révolution, et x”, 7”, =’ les coordonnées du point de contact;

Soient donc les équations données de l'axe de

cie MP =

l'équation du plan du méridien, en tant qu'il passe par le point de contact, est de la forme

et pour que ce plan passe par l'axe, les quantités M, N doivent être telles que les équations de l’axe et celle du plan aient lieu en même temps, quelles que soient les valeurs de x, y, z; ce qui donne

MIA(D— y") —B(a—x)] = b— 7" + Bz7 N[A(b— y") — B(a—x')] = —(a— x" + Az).

Ainsi l'équation du plan du méridien mené par le point de contact est

(z — 3) [A (b— y") — B(a — x')] —(b—7 +Bz')(x—x)—(a—x +Az)(y—7).

Or, l'équation du plan tangent est n ; / , sl dz' à M4 dz' , 2—3 = (X—xX (T) RS (TE):

et ces deux plans seront rectangulaires entre eux si l’on a

; nice / role (b— y +B)(T) — (ax +A:)(S) + A(b— y") — B(a— x") —0;

donc cette dernière équation exprime qu’une surface est de révolution autour d’un axe déterminé de position par les constantes A, B, a, b, mdépendamment de la génératrice, qui d’ailleurs peut ètre ou n'être pas soumise à la loi de continuité.

2. On peut être conduit à la même équation par la considération de la normale. En effet, les surfaces de révolution ont encore cette propriété, que leur normale coupe toujours l’axe de révolution.

Nous avons vu que les équations de la normale sont

NU rdS

x — x" + (z — 37) (Se) 0 V2

ER — 7" sr (z Le z') (TS) = O ;

et pour que cette droite coupe l’axe, il faut que ces équations et celles de l'axe aient lieu en même temps, indépendamment des valeurs de +, y, 3, ou que, en éliminant +, y, z de ces quatre équations, l'équation résultante soit satisfaite. Or, l’élimination de #, y, z donne l'équation (A); donc cette équation exprime qu’une surface

est de révolution:

SECONDE MANIÈRE, EN QUANTITÉS FINIES

3. Les surfaces de révolution ont un second caractère indépendant de la nature de la courbe génératrice ; c’est que, si on les coupe par un plan quelconque perpendiculaire à l'axe de révolution, on a pour section la circonférence d’un cercle dont le centre est dans l'axe, et dont tous les points sont par conséquent à égales distances d’un même point pris sur l’axe. Or, les équations de l’axe de révo-

lution étant, comme ci-dessus,

æ—Az+a, ° y —=Bz + pb, celle du plan perpendiculaire à l'axe sera

Ax + Bÿ +4 — 0,

dans laquelle la quantité qui détermine la position de ce plan est

constante pour le même plan perpendiculaire, et variable d’un plan

à un autre. , De plus, l’axe de révolution rencontre le plan des x et y dans un

point dont les coordonnées sont x = à, y = b, z — 0; et si l'on 3:

regarde ce point comme le centre commun d’une suite de sphères concentriques, l'équation générale des surfaces de ces sphères sera

dans laquelle le rayon £ est constant pour la même surface, et variable d’une sphère à une autre.

Cela posé, si le point que l’on considère sur la surface de révolution se meut sur cette surface sans sortir du même plan perpendiculaire à l’axe, il ne sortira pas non plus de la même surface de sphère, et alors « et f seront toutes deux constantes ; mais si ce point, en se mouvant, sort du plan perpendiculaire à l'axe, il passera aussi sur la surface d’une autre sphère, et les quantités « et $ auront toutes deux varié. Les surfaces de révolution sont donc telles que « et £?, ou les quantités Ax + By + 3 et (x — a) + (y — b)° + <° qui leur sont respectivement égales, sont constantes ensemble et variables ensemble; on a donc pour équation de ces surfaces

(x— a) + (y —b) z° — Q(Axr + By +3),

dans laquelle ® indique une fonction quelconque, dont la forme depend de la nature de la courbe génératrice.

Nous verrons par la suite que cette seconde équation, qui est de P q °q la même généralité que la première, en est l'intégrale complète. Si l'axe de révolution passe par l’origine, et est parallèle aux =. P P sine; ] on a

A0: De 0 Aa — O, b— 0 et l'équation précédente devient LAVE DZ ROUTE ETS

les signes & et indiquant des fonctions quelconques. Dans cette même hypothèse, il est évident que, si l’on ajoute à chacune des

= Ce

ordonnées z de la surface de révolution l’ordonnée correspôndante d'un plan, on aura l’ordonnée d’une surface de révolution rampante, dont la génération est la même que celle de la surface des balustres rampants. Donc l'équation générale de la surface des balustres rampants, rapportée à trois plans rectangulaires, dont deux

passent par l’axe de révolution, est a = Cx + Dy + Ja +),

la forme de la fonction - dépendant de la forme du profil du balustre, profil qui peut être ou n'être pas soumis à la loi de

continuité.

Etant données les équations d'une courbe a double courbure, trouver celle de la surface engendrée par la révolution de cette

courbe autour d'un axe donné de position.

Il est évident que la question consiste à déterminer dans l'équation générale des surfaces de révolution quelle doit être la forme de la fonction arbitraire @, pour que la surface passe par la courbe donnée, et soit par conséquent la surface individuelle que l'on con-

sidère. Soient donc représentées par HÉAM e0; J(2, Y,2) = 0, les deux équations données de la courbe génératrice; les équations

de la circonférence de cercle engendrée par chacun des points de cette génératrice seront, comme nous l’avons vu,

Ax+ By + z — 4,

(x— a) +(y—b) + — pa,

et pour que la surface de révolution passe par la courbe donnée, il faut que la génératrice soit coupée par la circonférence de cercle, quelle que soit la valeur de #; il faut donc que les quatre équations précédentes puissent avoir lieu entre les quatre quantités x,9°, 3, &. Done, éliminant les trois quantités +, 7, z, il restera une équation

en x et x, que nous représenterons par f(x, pa) — O,

et qui, donnant la valeur de gx en «, déterminera la forme de la fonction g. Donc si, dans cette dernière équation, on substitue pour

a et @a leurs valeurs en x, y, z, on aura l’équation

f[Ax + By +z, (x — a) + (y —b)} += ]—=o,

qui sera celle de la surface de révolution individuelle demandée.

EXEMPLE

En supposant que l'axe de révolution passe par l'origine, et qu'il soit parallèle a l'axe des 3, trouver l'équation de la surface de révolution engendrée par le mouvement d'une droite quelconque donnée de position.

Soient

== Mise

JR AN ee UN

les équations données de la droite génératrice; celles de la circonférence de cercle décrite par chacun de ses points seront

éliminant +, y, s entre ces équations, on a

(Aa a’ + (B'a + b')} = pa,

qui indique de quelle manière la fonction gx est composée de la quantité &. Remettant pour « et gx leurs valeurs, on a pour équa-

tion de la surface individuelle

(A5 + a") + (B’z Le D'ÉRED pe.

Si, dans cette équation, on fait ou æ — 0 ou y — 0, ce qui détermine une section par l'axe, l'équation résultante devient celle d'une hyperbole; done la surface que l'on considère est celle d'un hyperboloïde de révolution.

Si, en conservant une des deux équations de la droite génératrice, on change tous les signes du second membre de l’autre, l'équation de la surface sera encore la même; donc cette surface peut être ensendrée par deux droites différentes, et parce que chacune de ces deux droites génératrices passe par tous les points de la surface, il sensuit que la surface n’a aucun point par lequel on ne puisse faire passer deux lignes droites différentes qui soient toutes deux entière-

ment sur la surface.

Une surface courbe dont l'équation est donnée, étant liée d'une manière invartable à un axe de révolution, et tournant ensuite autour de cet axe, trouver l'équation de la surface qui touche

et enveloppe la surface mobile dans toutes ses positions.

La surface demandée est évidemment de révolution autour de l’axe donné, et elle touche la surface mobile considérée dans sa première position, suivant une courbe dont il suffira d’avoir les équations ; car la surface de révolution devant passer par cette courbe, la question alors sera réduite à la précédente.

Soit done F{(x, y, z) — o l'équation donnée de la surface mo-

bile considérée dans sa première position. Pour tous les points de la

mes

ligne de contact de cette surface avec celle de révolution, l'équation F(x, 7,2) —o doit satisfaire à celle des surfaces de révolution ;

+ ; x dz Miz done, si tirant de cette équation les valeurs de (== }) et {= }), on dx dy

les substitue dans l'équation (A), page 18, l'équation qu'on obtiendra, et que nous représenterons par f(x, 7, :) — 0, appartiendra à la courbe de contact. Les deux équations de cette courbe seront donc

ft ea